Дипломная работа: Факторизації чотирьохмірних симплектичних груп

Доказ. Можна вважати, що . Зафіксуємо базу простору , і нехай - сполучена база. Нехай в. Через 9

оборотна
біективно,

тому (3) рівносильне (5). Аналогічно (3) рівносильне (4). Далі

біективно
,

так що (5) рівносильне (2). Нарешті, мабуть, що (2) рівносильне (1).

Визначення 12 Знакозмінний простір називається регулярним, якщо воно задовольняє одному з п'яти рівносильних умов Пропозиція11. Знакозмінний простір називається виродженим, якщо воно не є регулярним. Нарешті, воно називається цілком виродженим, якщо .

Якщо , то регулярно. Якщо , то через Пропозиція11 і 12

Пропозиція.13 Нехай - уявлення знакозмінних просторів. Якщо регулярно, то - ізометрія.

Доказ. Візьмемо з ядра уявлення . Тоді . Звідси через регулярність простору одержуємо, що .

Пропозиція 14 Кожній базі регулярного знакозмінного простору відповідає єдина база цього простору, називана сполученої до відносно й така, що для всіх , . Якщо в и в , то .

Доказ.1) Покладемо для , де - сполучена до база сполученого простору . Тоді - база, тому що біективно. Крім того,. Цим доведене існування бази . Одиничність безпосередньо треба з регулярності.2) Нехай . Тоді йЗвідси , так що й .

Розглянемо знакозмінний простір зі знакозмінною формою . Будемо говорити, що має ортогональне розкладанняна підпростори якщо воно є прямою сумою з попарно ортогональними , тобто при . Назвемо компонентами цього ортогонального розкладання. Будемо говорити, що підпростір розщеплює або що є компонентом простору , якщо існує підпростір простору , таке, що . Маємоде добуток береться в.

Розглянемо два знакозмінних простори й над тим самим полемо й припустимо, що є ортогональне розкладання , а - сума просторів , , причому при . Нехай для кожного , , задане уявлення . Тоді, як відомо з лінійної алгебри, існує єдине лінійне перетворення , що погодиться з кожним на . Насправді легко перевірити, що - уявлення. Ми будемо записувати його у вигляді

Важливим є випадок, коли , для всіх і для всіх ; тоді

Якщо дано ще одне таке уявлення , то

Розглянемо знакозмінний простір над полем . Під ортогональним доповненням підпростору простору в розуміється підпростір

співпадаюче також з

Визначимо радикал простору як підпростір . Очевидно,

Пропозиція15 Не