Дипломная работа: Факультативный курс по теме "Элементы комбинаторики" для 8 класса
В заключении представлены основные выводы по работе, практическая значимость темы.
В приложении показана разработка занятий факультативного курса, а также анкетирование учителей школ города Кунгура.
Глава 1. Использование комбинаторных задач в обучении математике
1 .1 Правила решения комбинаторных задач
В математике и ее приложениях часто приходится иметь дело с различного рода множествами и подмножествами: устанавливать их связь между элементами каждого, определять число множеств или их подмножеств, обладающих заданным свойством. Такие задачи приходится рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической телефонной связи, работы морских портов, при выявлении связей внутри сложных молекул, генетического кода, а также в лингвистике, в автоматической системе управления, значит и в теории вероятностей, и в математической статистике со всеми их многочисленными приложениями.
Один из разделов теории вероятности – комбинаторика.
Комбинаторика – ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Еще комбинаторику можно понимать как перебор возможных вариантов. Комбинаторика возникла в XII веке. Долгое время она лежала вне основного русла развития математики.
Задачи, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называется комбинаторикой [23, 28].
Раздел комбинаторики, в котором рассматривается лишь вопрос о подсчете числа решений комбинаторной задачи, называется теорией перечислений. Он тесно связан с теорией вероятностей. Во многих случаях при вычислении вероятности данного события надо найти число возможных вариантов и число благоприятных вариантов. Число вариантов отыскивается комбинаторными методами [23, 19].
С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов – во время работы.
Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника.
Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т.д.
Комбинаторика как наука стала развиваться в XIII веке параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н.Тарталье (1499-1557), Г.Галилею (1564-1642) и французским ученым Б.Паскалю (1623-1662) и П.Ферма.
Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел термин «комбинаторика». Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л.Эйлер. В современном обществе с развитием вычислительной техники комбинаторика «добилась» новых успехов. В настоящее время в образовательный стандарт по математике включены основы комбинаторики, решение комбинаторных задач методом перебора, составлением дерева вариантов (еще его называют «дерево возможностей») с применением правила умножения.
Возрастает роль комбинаторных задач уже в начальном обучении математике, так как в них заложены большие возможности не только для развития мышления учащихся, но и для подготовки учащихся к решению проблем, возникающих в повседневной жизни [11, 18].
Рассмотрим исходные понятия, лежащие в основе решения комбинаторных задач.
Правила решения комбинаторных задач
В основе науки «Комбинаторики» лежит теория множеств. Множество – это основное понятие теории множеств, поэтому никак не определяется, а поясняется на примерах (множество натуральных чисел, множество треугольников, квадратов).
В математике изучают не только те или иные множества, но и отношения, взаимосвязи между ними. Например, известно, что все натуральные числа являются целыми, т. е. множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел. Множество В называют подмножеством множества А , если каждый элемент множества В является также элементом множества А .
Используя 2 цифры, например, 3 и 5, можно записать 4 двузначных числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотря на то, что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные. В том случае, когда важен порядок следования элементов, говорят об упорядоченных наборах элементов. Такие наборы называют кортежами и различают по длине. Длина кортежа – это число элементов, из которых он состоит. Например, (3; 6; 7) – это кортеж длины 3.
Рассматривают в математике и декартово произведение множеств. Декартовым произведением множеств А1 , А2 , … , А n называют множество всех кортежей длины n , первая компонента которого принадлежит множеству А , вторая – множеству А2 , … , n -я множеству А n .
Если в множестве А содержится а элементов, а в множестве В – b элементов, то в декартовом произведении множества А и В содержится а· b элементов, т. е. n ( A × B )= n ( A )· n ( B )= a · b [23, 6].
Задача: сколько двузначных чисел можно записать, используя цифры 5, 4 и 7?
Решение: запись любого двузначного числа состоит из двух цифр и представляет собой упорядоченную пару. В данном случае эти пары образуются из элементов множества А ={5, 4, 7}. В задаче требуется узнать число таких пар, т. е. число элементов в декартовом произведении А×А. Согласно правилу n ( A ×А)= n ( A )· n (А) =3·3=9. Значит, двузначных чисел, записанных с помощью цифр 5, 4 и 7, будет 9.
Таким образом, на основе некоторых понятий теории множеств строятся основные понятия комбинаторики.
Комбинаторные задачи в начальном курсе математики решаются, как правило, методом перебора. Для облегчения этого процесса нередко используются таблицы и графы. В связи с этим необходимы определенные умения и навыки решения комбинаторных задач. Прежде всего, решая несложные комбинаторные задачи, нужно грамотно осуществлять перебор возможных вариантов.
Задача: сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?
Решение: для того чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4 и, наконец, с цифры 7: 11, 14, 17, 41, 44, 47, 71, 74, 77. Таким образом, из трех данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.
Существует единый подход к решению самых разных комбинаторных задач с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название – дерево возможных вариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов решения не будет потерян. Знак * изображает корень дерева, ветви дерева – различные варианты решения [15, 115].