Дипломная работа: Геометрии Галилея и Минковского как описания пространства-времени

Таким образом, есть основания считать выражения 2+3i и 2–3i корнями уравнения (2.8), хотя и нелегко понять, что они означают.

Операция сложения применяется в математике для весьма разнообразных классов объектов: вещественных чисел, векторов, матриц, операторов и т.д., но в каждом случае в роли слагаемых и суммы выступают элементы одинаковой природы. Не так получается с корнями уравнения (2.8). По смыслу общей формулы корней квадратного уравнения, каждый корень является суммой двух членов. Но если дискриминант отрицателен, второй член оказывается мнимым числом, тогда как первый член – число вещественное. Непонятно, как можно складывать столь различные объекты и что представляет собой их сумма, не являющаяся ни вещественным, ни мнимым числом. Впрочем, именно эта непонятная сумма и дает ключ к решению проблемы. Во-первых, с ней необходимо считаться, поскольку она выражает корни квадратного уравнения. Во-вторых, она объединяет в себе оба типа чисел – и вещественные, и мнимые. Так, может быть на вещественные и мнимые числа и следует смотреть как на составные части более сложного числового объекта? В отрыве друг от друга каждая из них имеет лишь ограниченное применение, а в едином комплексе они образуют более полноценное понятие числа. Если в таком комплексном числе мнимая составляющая равна нулю, мы воспринимаем число как вещественное, а если нулю равна вещественная составляющая, то мы воспринимаем комплексное число как мнимое. При сложении комплексных чисел отдельно складываются их вещественные компоненты и мнимые. Исторически сложился обычай обозначать мнимую компоненту с помощью множителя . При такой трактовке проблемы мы получаем вместо бессмысленного сложения вещественного числа мнимым сложение двух комплексных чисел (объектов одинаковой природы) и в качестве суммы их – тоже комплексное число:

В записи комплексного числа знак плюс (минус) перед мнимой компонентой отнюдь не означает, что не нужно прибавлять (вычитать) к вещественной компоненте. Просто это собственный знак мнимой компоненты, которая может быть положительной или отрицательной. Чтобы избавиться от иллюзии, будто вещественная и мнимая компоненты комплексного числа складываются, можно записывать их, разделяя точкой с запятой. Заодно можно отказаться и от символического множителя при мнимой компоненте. Достаточным признаком различий вещественной и мнимой составляющих послужит их paс положение в записи комплексного числа – на первом месте вещественная, а на втором мнимая.

(2.10)

Именно такая форма записи принята в современной теории комплексных чисел, хотя в практике вычислений сохраняется и исторически сложившаяся алгебраически форма . Если требуется указать комплексное число как единый объект, не различая в нем вещественную и мнимую компоненты, то пользуются однобуквенным обозначением

(2.11)

Запишем в этих обозначениях правило сложения комплексных чисел:

(2.12)

Когда мы убеждались в том, что комплексные числа и являются корнями квадратного уравнения (2.8), то перемножали комплексные числа (возводили в квадрат) по обычному правилу умножения многочленов с учетом соотношения. В общем виде это выглядит так:

Если же записывать комплексные числа не в алгебраической форме, а в виде упорядоченных пар чисел, то правило умножения примет вид

(2.13)

Это выражение нетрудно запомнить в следующей формулировке: первая компонента произведения равна разности произведений предшествующих членов комплексных сомножителей, записанных рядом, и последующих их членов, а вторая компонента равна сумме произведений внешних членов и внутренних .

Мы описали подход к понятию комплексного числа и арифметическим действиям с комплексными числами в качестве догадки, которая возникает при рассмотрении частной задачи решения квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом. В определение комплексных чисел органически включается определение операций над ними: комплексные числа z представляют собой упорядоченные пары вещественных чисел , которые складываются по правилу (2.12) и перемножаются по правилу (2.13). Множество комплексных чисел принято обозначать буквой С.

Операции вычитания и деления комплексных чисел определяются как обратные операциям сложения и умножения. Разностью чисел и называется такое комплексное число z, которое удовлетворяет соотношению

Отсюда следует

(2.14)

Частным от деления на , , называется такое комплексное число z, которое удовлетворяет со