Дипломная работа: Использование разнообразных форм уроков при изучении темы "Квадратные уравнения" в 8 классе

3) если уравнение имеет вид ах² + с = 0 , то его преобразуют к виду

ах² = - с и далее х² . = - В случае, когда - < 0, уравнение х² = - не имеет действительных корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах² + с = 0). В случае, когда - > 0, т.е. - = m, где m>0, уравнение х² = mимеет два корня = , = - , в этом случае допускается более короткая запись = . Таким образом, неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень, ни одного корня.

На втором этапе осуществляется переход к решению полного квадратного уравнения. Это уравнения вида ах² + bx+ c= 0, где a , b , c - заданные числа, а ≠ 0, х - неизвестное.

Любое полное квадратное уравнение можно преобразовать к виду, для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни. Дискриминант уравнения равен: D= p² - 4q. Рассматриваются следующие случаи решения полных квадратных уравнений: D< 0, D= 0, D> 0.

1. Если D< 0, то квадратное уравнение ах² + bx+ c= 0, где а ≠ 0 не имеет действительных корней. Например, 2х² + 4х + 7 = 0. Решение: здесь а = 2, b= 4, с = 7. D= b^{2 -} 4ас = 4² - = 16 - 56 = - 40. Так как D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

2. Если D= 0, то квадратное уравнение ах² + bx+ c= 0, где а ≠ 0, имеет два равных корня, которые находятся по формуле.

Например, 4х - 20х + 25 = 0. Решение: а = 4, b= - 20, с = 25. D= b^{2 -} 4ас = (-20) ² - = 400 - 400 = 0. Так как D= 0, то данное уравнение имеет два равных корня, которые находятся по формуле . Значит,

3. Если D> 0, то квадратное уравнение ах² + bx+ c= 0, где а ≠ 0 имеет два корня, которые находятся по формулам: ; (1)

Например, 3х² + 8х - 11 = 0. Решение: а = 3,b= 8, с = - 11. D= b^{2 -} 4ас = 8² - (-11) = 64 + 132 = 196. Так как D> 0, то данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находятся по формулам:

.

Составляется алгоритм решения уравнения вида ах² + bx+ c= 0.

1. Вычислить дискриминант Dпо формуле D= b^{2 -} 4ас.

2. Если D< 0, то квадратное уравнение ах² + bx+ c= 0 не имеет корней.

3. Если D= 0, то квадратное уравнение имеет два равных корня, который находятся по формуле

4. Если D> 0, то квадратное уравнение ах² + bx+ c= 0 имеет два корня:

; .

Это алгоритм универсален, он применим как к неполным, так и к полным квадратным уравнениям. Однако неполные квадратные уравнения обычно по этому алгоритму не решают.

Математики - люди практичные, экономные, поэтому пользуются формулой:

. (2)

Итак, можно сделать вывод, что квадратные уравнения можно решать подробно, используя сформулированное выше правило; можно - записать сразу формулу (2) и с ее помощью делать необходимые выводы [1,98].

На третьем этапе рассматриваются приведенные квадратные уравнения, которые имеют вид х² +px+ q= 0 (3), где pи q - данные числа. Число p - коэффициент при х, а q - свободный член.

Дискриминант уравнения равен: D= p² - 4q. Приведенные квадратные уравнения получаются из полного квадратного уравнения следующим образом:

Где и .

Рассматривают 3 случая:

1. D> 0, тогда уравнение (3) имеет два корня, вычисляемые по формуле

.

(Приложение 1) (4)

2. D= 0, тогда уравнение (3) имеет единственный корень, или, как говорят, два совпадающих корня: