Дипломная работа: Изучение метода координат в курсе геометрии основной школы

(умение оптимально выбирать систему координат, т. е. так, чтобы наиболее просто находить координаты данных точек).

В выбранной системе координат точки А, С и D имеютследующие координаты: А(0,0), D(,0) и С(b,0)

(умение вычислять координаты заданных точек). Обозначим координаты точки В через х и у. Тогда используя формулу для нахождения расстояний между двумя точками, заданными своими координатами, получаем:

х² +у² =с² , ( x - b )² + y ² = a ² (1)

(умение находить расстояние между двумя точками, заданными координатами)

По той же формуле . (2)

Используя формулы (1) находим х и у.

Они равны:

; .

Далее, подставляя х и у в формулу (2), находим .

.

(умение выполнять преобразования алгебраических выражений)

Задача №2. Найти множество точек, для каждой из которых разность квадратов расстояний от двух данных точек есть величина постоянная.

Обозначим данные точки через А и В. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох совпадала с прямой АВ, а началом координат служила точка А.

(умение оптимально выбирать систему координат).

Предположим АВ=а, тогда в выбранной системе координат А(0,0), В(а,0).

(умение находить координаты заданных точек)

Точка М(х,у) принадлежит искомому множеству тогда только тогда, когда AM² -MB² =b² где b- постоянная величина

(умение переводить геометрический язык на аналитический, составлять уравнения фигур).

Используя формулу расстояний между двумя точками, получаем:

, ,

(умение вычислять расстояние между точками, заданными координатами),или .Данное уравнение является уравнением прямой, параллельной оси Оу и отстоящей от точки А нарасстояние .

(умение видеть за уравнением конкретныйгеометрический образ)

Нетрудно видеть, что и для решения этой задачи необходимо овладение перечисленными выше умениями. Кроме того, для решения приведенной задачи, а также и других задач важно умение «видеть за уравнением» конкретный геометрический образ, котороеявляется обратным к умению составлять уравненияконкретных фигур.

Выделенные умения являются основой при решении иболее сложных задач.

Задача №3. В трапеции меньшая диагональ перпендикулярна основаниям. Найти большую диагональ, если сумма противоположных углов равна , а основания равны а и b.

Направим оси координат по меньшей диагонали и одному из оснований (рис. 3).

(умение оптимально выбирать систему координат).

Тогда точка А имеет координаты (0,0), точка В - (а,0), точка С - (0,c), точка D - (b,c).

(умение находить координаты заданных точек)

Пусть и острые углы в трапеции АВСD, тогда их сумма равна . Для вычисления длины большей диагонали BD надо найти значение с. Его можно вычислить 2 способами. Первый - из прямоугольного треугольника АВС по формуле находим . Второй способ из прямоугольного треугольника ACD: . Отсюда получили, что

(1)