Дипломная работа: Метод анализа главных компонентов регрессионной модели измерений средствами нейронных сетей

Матрица R является симметричной, т.е.

(1.7)

Из этого следует, что если а и b — произвольные векторы размерности т х 1, то

(1.8)

Из выражения (1.5) видно, что дисперсия 2 проекции А является функцией единичного вектора q. Таким образом, можно записать:

(1.9)

на основании чего ψ(q) можно представить как дисперсионный зонд (varianceprobe).

1.5.1 Структура анализа главных компонентов

Следующим вопросом, подлежащим рассмотрению, является поиск тех единичных векторов q, для которых функция ψ(q) имеет экстремальные или стационарные значения (локальные максимумы и минимумы) при ограниченной Евклидовой норме вектора q. Решение этой задачи лежит в собственной структуре матрицы корреляции R. Если q — единичный вектор, такой, что дисперсионный зонд ψ(q) имеет экстремальное значение, то для любого возмущения 6q единичного вектора q выполняется!

(1.10)

Из определения дисперсионного зонда можем вывести следующее соотношение:

,

где во второй строке использовалось выражение (1.8). Игнорируя слагаемое второго порядка (δq)TRδq и используя определение (1.9), можно записать следующее:

(1.11)

Отсюда, подставляя (1.10) в (1.11), получим:

, (1.12)

Естественно, любые возмущения δq вектора q нежелательны; ограничим их только теми возмущениями, для которых норма возмущенного вектора q+δq остается равной единице, т.е.

или, что эквивалентно,

,

Исходя из этого, в свете равенства (1.4) требуется, чтобы для возмущения первого порядка δq выполнялось соотношение

(1.13)

Это значит, что возмущения δq должны быть ортогональны вектору q и, таким образом, допускаются только изменения в направлении вектора q.

Согласно соглашению, элементы единичного вектора q являются безразмерными в физическом смысле. Таким образом, можно скомбинировать (1.12) и (1.13), введя дополнительный масштабирующий множитель l, в последнее равенство с той же размерностью, что и вхождение в матрицу корреляции R. После этого можно записать следующее:

,

или, эквивалентно,

, (1.14)

Для того чтобы выполнялось условие (1.14), необходимо и достаточно, чтобы

(1.15)