Дипломная работа: Методика обучения решению текстовых задач алгебраическим способом

В своих работах Фридман Л.М.[1] отмечал, решение задач – это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придется работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа.

Значит, для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.

Если приглядеться к любой задаче, то увидим, что она представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче. Поэтому, приступая к решению какой-либо задачи, надо ее внимательно изучить, установить, в чем состоят ее требования (вопросы), каковы условия, исходя из которых, надо решать задачу. Все это называется анализом задачи.

Получив задачу, мы сначала внимательно ее читаем. Первое, что можно заметить при чтении любой задачи, это то, что в ней есть определенные утверждения и требования. Часто требование формулируется в виде вопроса. Но всякий вопрос предполагает требование найти ответ на этот вопрос, а поэтому всякий вопрос можно заменить требованием. Как мы знаем из любой задачи, что формулировка состоит из нескольких утверждений и требований. Утверждения задачи называются условиями задачи.

Отсюда ясно, что первое, что нужно сделать при анализе задачи, - это расчленить формулировку задачи на условия и требования. Будем иметь в виду, что в задаче обычно не одно условие, а несколько независимых элементарных условий, требований в задаче также может быть не одно. Поэтому необходимо расчленить все утверждения и требования задачи на отдельные элементарные условия и требования. Но, производя анализ задачи, вычленяя из формулировки задачи ее условия, мы все время должны соотносить этот анализ с требованием задачи, как бы постоянно оглядываться на требование. Иными словами, анализ задачи всегда направлен на требования задачи. Анализируя условия задач, можно заметить, что каждое из них состоит из одного или нескольких объектов и некоторой их характеристики. Если в условии один объект, то указывается его характеристика в виде некоторого свойства этого объекта; если же объектов два, то характеристикой служит некоторое отношение этих объектов. После того, как задача проанализирована, ее условие надо как-то записать. Но записывать ее словесно, описательно малоудобно, так как это займет много места и времени. Поэтому надо найти более удобную, более компактную и в то же время достаточно наглядную форму записи результатов анализа задач. Такой формой является схематическая запись задачи.

Заметим, что не для всякой задачи надо делать схематическую запись. Так, например, для задач по решению уравнений, неравенств, преобразований выражений анализ проводится обычно устно и никак не оформляется. Вообще для задач, которые записаны на символическом языке, схематическая запись не нужна.

Первой отличительной особенностью схематической записи задач является широкое использование в ней разного рода обозначений, символов, букв, рисунков, чертежей и т.д. Второй особенностью является то, что в ней четко выделены все условия и требования задачи, а в записи каждого условия указаны объекты и их характеристики, наконец, в схематической записи фиксируется лишь только то, что необходимо для решения задачи; Все другие подробности, имеющиеся в задаче, при схематической записи отбрасываются.

Для схематической записи геометрической и некоторых других задач полезно использовать чертеж той фигуры, которая рассматривается в задаче.

Задачи, которые решаются в школе, различаются в первую очередь характером своих объектов. В одних задачах объектами являются реальные предметы, в других – все объекты математические (числа, геометрические фигуры, функции и т.д.). Первые задачи, в которых хотя бы один объект есть реальный предмет, называются текстовыми (практическими, житейскими, сюжетными), вторые, все объекты которых математические, называются математическими задачами.

В связи с тем, что нашей темой является рассмотрение текстовых задач, мы будем рассматривать именно их.

В следующем примере мы произведем анализ задачи, вычленяя из формулировки задачи ее условия, и соотнесем этот анализ с требованиями задачи.

Задача.

Катер прошел 20 км по течению реки и 20 км против течения реки. Затратит ли он на весь путь больше времени, чем ему требуется на прохождение 40 км в стоячей воде, меньше или столько же?

Первичный анализ этой задачи позволяет вычленить такие условия:

1) катер прошел 20 км по течению реки;

2) он прошел 20 км против течения реки;

3) он же прошел 40 км в стоячей воде.

Но, сопоставив эти условия с требованием задачи: узнать больше, меньше или столько же времени затратил катер на первый и второй пути вместе по сравнению с третьим, мы обнаруживаем недостаточность произведенного анализа. Эта недостаточность проявляется хотя бы в том, что в условиях ничего не говориться о времени, а требование задачи сводится к сравнению промежутков времени. Поэтому нужно продолжить анализ. Для этого вдумаемся в требование задачи. Надо сравнить время движения катера в стоячей воде. От чего зависит это время? Очевидно, от собственной скорости катера, от скорости течения реки и, конечно, пройденных расстояний. Но если пройденное расстояние в формулировке задачи даны, то скорости катера и реки даже не упоминаются. Как же быть? В таких случаях эти величины, без которых решение задачи невозможно, принимаются за неопределенные параметры. Положим, например, что собственная скорость катера равна v км/ч, а скорость течения реки a км/ч. Теперь мы можем вычленить такие условия:

1) собственная скорость катера v км/ч;

2) скорость течения реки a км/ч;

3) катер проплыл 20 км по течению реки;

4) он же проплыл 20 км против течения реки;

5) на весь путь туда и обратно по реке катер затратил ч;

6) в стоячей воде катер проплыл 40 км;

7) на этот путь он затратил ч;

Требование задачи: сравнить и ч, и установить, равны ли они или нет, а если нет, то, что больше.

Следующий пример приведем для того, чтобы рассмотреть схематическую запись задачи, которая является очень важным этапом в решение задач, во-первых она наиболее краткая из-зи использования в ней различных обозначений, символов, чертежей и др., во-вторых в ней наиболее четко выделены все условия и требования, и в-третьих в схематической записи фиксируется только то, что требуется для решения, все остальное отбрасывается.

Задача.

С одного участка 1440 ц. пшеницы, а с другого, площадь которого на 12 га меньше, - 1080 ц. Найти площадь первого участка, если известно, что на первом участке собирали пшеницы с каждого гектара на 2 ц больше, чем на втором.