Дипломная работа: Передача информации по каналу с решающей обратной связью

В качестве информационных символов k для построения циклических кодов берут комбинации двоичного кода на все сочетания. В общем случае, если заданную кодовую комбинацию Q(X) умножить на образующий многочлен Р(Х), получится циклический код, обладающий теми или иными корректирующими свойствами в зависимости от выбора Р(Х). Однако в этом коде контрольные символы m будут располагаться в самых разнообразных местах кодовой комбинации. Такой код не является систематическим, что затрудняет его схемную реализацию. Ситуацию можно значительно упростить, если контрольные символы приписать в конце кода, то есть после информационных символов. Для этой цели целесообразно воспользоваться следующим методом.

1. Умножаем кодовую комбинацию G(X), которую мы хотим закодировать, на одночлен , имеющий ту же степень, что и образующий многочлен Р(Х).

2. Делим произведение на образующий многочлен Р():

(1.1)

где Q(X) — частное от деления; R(X) — остаток.

Умножая выражение (1.1) на Р(Х) и перенося R(X) в другую часть равенства, согласно правилам алгебры двоичного поля, т. е. без перемены знака на обратный, получаем

(1.2)

Таким образом, согласно равенству (1.2), циклический код, т. е. закодированное сообщение F(X), можно образовать двумя способами:

1 ) умножением одной из комбинаций двоичного кода на все сочетания [комбинация Q(X) принадлежит к той же группе того же кода, что и заданная комбинация G(X)] на образующий многочлен Р(Х);

2) умножением заданной кодовой комбинации G(X) на одночлен , имеющий ту же степень, что и образующий многочлен Р(Х), с добавлением к этому произведению остатка R(X), полученного после деления произведения на образующий многочлен Р(Х).

Пример 1.1. Требуется закодировать одну из комбинаций двоичного кода 1101, что соответствует .

Не останавливаясь на выборе образующего многочлена Р(Х), о чем будет сказано далее, возьмем из табл. 1.1 многочлен Р(Х³ )=Х³ +Х+1→11→1011.

Умножая G(X) на , который имеет третью степень, получим

.

От умножения степень каждого многочлена повысилась, что эквивалентно приписыванию трех нулей к многочлену, выраженному в двоичной форме.

Разделив произведение на образующий многочлен , согласно (1.1) получим

или в двоичном эквиваленте

Таким образом, в результате деления получаем частное Q(X) той же степени, что и G(X):

и остаток:

.

В итоге комбинация двоичного кода, закодированная циклическим кодом, согласно (1.2) примет вид

F(X)= 1111•1011 = 1101000 + 001 = 1101001.

Действительно, умножение 1111•1011 (первый способ) дает тот же результат, что и сложение 1101000 + 001 (второй способ).

Циклические коды, обнаруживающие одиночную ошибку (d=2) . Код, образованный многочленом Р(Х)=Х+1, обнаруживает не только одиночную ошибку, но и любое нечетное число ошибок.

Предположим, что необходимо закодировать сообщение G(Х)=Х³ + +Х² +X+1→1101 с помощью образующего многочлена P(Х)=Х+1→11.

Умножим G(X) на Х^m , что эквивалентно добавлению нуля справа, так как m=1, поскольку Р(Х) имеет первую степень: (Х³ +Х² +1)X= Х⁴ +Х³ +X→11010.