Дипломная работа: Развитие математических способностей учащихся в процессе внеклассной работы по математике в начальной школе

Но прежде чем перейти к вопросу о математических способностях и их структуре, важно указать, что в психологии различают общие умственные способности и специальные способности. Общие умственные способности ¾ это способности, которые необходимы для выполнения ни какой-то одной, а многих видов деятельности. К общим умственным способностям относят, например, такие качества ума, как умственная активность, критичность, систематичность, сосредоточенное внимание. Человек от природы наделен общими способностями. Любая деятельность осваивается на фундаменте общих способностей, которые развиваются в этой деятельности. Как отмечает В.Д. Шадриков, “специальные способности есть общие способности, приобретшие черты оперативности под влиянием требований деятельности” (102, с.239). Специальные способности ¾ это способности, которые необходимы для успешного овладения какой-нибудь одной определенной деятельностью. Эти способности также представляют собой единство отдельных частных способностей. Например, в составе математических способностей большую роль играет математическая память; способность к логическому мышлению в области количественных и пространственных отношений; быстрое и широкое обобщение математического материала; легкое и свободное переключение от одной умственной операции к другой; стремление к ясности, экономичности, рациональности рассуждений и так далее. Все частные способности объединяются стержневой способностью ¾ математической направленностью ума (под которой понимают тенденцию вычленять при восприятии пространственные и количественные отношения, функциональные зависимости), связанной с потребностью в математической деятельности.

1.2 Математические способности и их структура

Так в чем же заключаются математические способности? Или они есть ни что иное, как качественная специализация общих психических процессов и свойств личности, то есть общие интеллектуальные способности, развитые применительно к математической деятельности? Является ли математическая способность унитарным или интегральным свойством? В последнем случае можно говорить о структуре математических способностей, о компонентах этого сложного образования. Ответы на эти вопросы искали психологи и педагоги еще начала века, но до сих пор нет единого взгляда на проблему математических способностей. Попробуем разобраться в этих вопросах, проанализировав работы некоторых ведущих специалистов, работавших над этой проблемой.

Пытаясь разобраться в психологии математического мышления, Д. Мордухай-Болтовской выделяет в нем два процесса: постановку проблемы и ее решение, и указывает свойства ума, необходимые для успешного осуществления этих процессов. Для успешной постановки проблемы главным необходимым условием он считает творческое воображение: “При самом выборе проблемы иногда необходимо делать гипотезу, необходима не точная цепь силлогизмов, а воображение” (65, с.495). Второй составляющей называет память на схемы рассуждений и бессознательные мыслительные процессы.”Мышление математика … глубоко внедряется в бессознательную сферу, то всплывая на ее поверхность, то погружаясь в глубину” (65, с.496). Так же Д. Мордухай-Болтовской выделяет остроумие, как одно из характерных свойств математической способности ¾ “способность обнимать умом зараз два совершенно разнородных предмета” (65, с.496) (то есть остроумие ¾ это способность объединять в одном суждении понятия из двух малосвязанных областей) ¾ и, наконец, быстроту математического мышления. При этом он особо отмечает, что при анализе математической способности следует резко отличать склонность к известному роду занятий от способностей (65, 66).

А. Пуанкаре пришел к выводу, что важнейшее место в математических способностях занимает умение логически выстроить цепь операций, которые приведут к решению задачи. Кроме того, для математика недостаточно иметь хорошую память и внимание. По мнению Пуанкаре, людей, способных к математике, отличает умение уловить порядок, в котором должны быть расположены элементы, необходимые для математического доказательства. Наличие интуиции такого рода ¾ есть основной элемент математического творчества (74).

Л.А. Венгер относит к математическим способностям такие особенности умственной деятельности, как обобщение математических объектов, отношений и действий, то есть способность видеть общее в разных конкретных выражениях и задачах; способность мыслить “свернутыми”, крупными единицами и “экономно”, без лишней детализации; способность переключения с прямого на обратный ход мысли (13).

Б.А. Кордемский не говорит о математических способностях, а выделяет элементы математического мышления. К ним он относит инициативность (желание самому постигнуть проблему, стремление к самостоятельному поиску способов и средств решения задачи), гибкость и критичность ума (придумывание и применение нешаблонных, оригинальных, остроумных приемов решения задач и методов рассуждений с постоянной проверкой их правильности, строгости и практической ценности) (42, 43). Кроме этого, он выделяет и такой элемент, как волевые усилия, под которыми понимает “упорство и настойчивость, которые проявляются в преодолении трудностей, возникающих в процессе овладения математическими методами при решении задач”(42, с.34).

Для того чтобы понять, какие еще качества требуются для достижения успехов в математике, исследователями анализировалась математическая деятельность: процесс решения задач, способы доказательств, логических рассуждений, особенности математической памяти. Этот анализ привел к созданию различных вариантов структур математических способностей, сложных по своему компонентному составу. При этом мнения большинства исследователей сходились в одном: что нет, и не может быть единственной ярко выраженной математической способности ¾ это совокупная характеристика, в которой отражаются особенности разных психических процессов: восприятия, мышления, памяти, воображения.

Среди наиболее важных компонентов математических способностей выделяются специфическая способность к обобщению математического материала, способность к пространственным представлениям, способность к отвлеченному мышлению. Некоторые исследователи выделяют также в качестве самостоятельного компонента математическую память на схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и способы подхода к ним. Одним из них является В.А. Крутецкий. Он так определяет математические способности: ”Под способностями к изучению математики мы понимаем индивидуально-психологические особенности(прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обуславливающие на прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики” 948, с.41). В своей работе мы, главным образом, будем опираться на исследования именно этого психолога, так как его исследования этой проблемы и на сегодняшний день являются самыми глобальными, а выводы наиболее экспериментально обоснованными. Итак, В.А. Крутецкий различает девять способностей (компонентов математических способностей):

Способность к формализации математического материала, к отделению формы от содержания, абстрагированию от конкретных количественных отношений и пространственных форм и оперированию формальными структурами, структурами отношений и связей;

Способность обобщать математический материал, вычленять главное, отвлекаясь от несущественного, видеть общее во внешне различном;

Способность к оперированию числовой и знаковой символикой;

Способность к “последовательному, правильно расчлененному логическому рассуждению”, связанному с потребностью в доказательствах, обосновании, выводах;

Способность сокращать процесс рассуждения, мыслить свернутыми структурами;

Способность к обратимости мыслительного процесса (к переходу с прямого на обратный ход мысли);

Гибкость мышления, способность к переключению от одной умственной операции к другой, свобода от сковывающего влияния шаблонов и трафаретов;

Математическая память. Можно предположить, что ее характерные особенности также вытекают из особенностей математической науки, что это память на обобщения, формализованные структуры, логические схемы;

Способность к пространственным представлениям, которая прямым образом связана с наличием такой отрасли математики, как геометрия.

Большинство психологов и педагогов, говоря о математических способностях, опираются именно на эту структуру математических способностей В.А. Крутецкого. Однако в процессе различных исследований математической деятельности учеников, проявляющих способности к этому школьному предмету, некоторыми психологами были выделены и другие компоненты математических способностей. В частности, нас заинтересовали результаты исследовательской работы З.П. Горельченко (20). Он отметил у способных к математике учеников следующие особенности. Во-первых, он уточнил и расширил компонент структуры математических способностей, называемый в современной психологической литературе “обобщение математических понятий” и высказал мысль о единстве двух противоположных тенденций мышления учащегося к обобщению и “сужению” математических понятий. В указанном компоненте возможно видеть отражение единства индуктивного и дедуктивного методов познания учащимися нового в математике. Во-вторых, диалектические зачатки в мышлении учащихся при усвоении новых математических знаний. Это проявляется в том, что почти в любом отдельном математическом факте наиболее способные учащиеся стремятся усмотреть, понять факт, ему противоположный, или, по крайне мере, рассмотреть предельный случай исследуемого явления. В-третьих, он отметил особое повышенное внимание к возникающим новым математическим закономерностям, противоположным ранее установленным. Мышление увлеченных математикой школьников отличается особой восприимчивостью к математическим контрастам, не связанными с предыдущими рассматриваемыми явлениями, не вытекающими из них, а иногда и вступающими в противоречие с ними. Указанная особенность математического поведения наиболее способных учащихся тесно связана с возникновением у них элементов диалектического мышления и вместе с ними служит большим стимулом, побуждающим учащихся к новым математическим раздумьям, усиливает и укрепляет их великий интерес к математике. Он так же отметил и особое увлечение способных учеников сложными математическими проблемами. З.П. Горельченко отмечает, что “подлинное увлечение серьезными математическими задачами характерно только для учеников, влюбленных в математику и проявляющих повышенные способности к успешным занятиям ею. Этим учащимся свойственно стремление попробовать свои силы прежде всего на содержательных задачах, которые решали многие математики и решение которых до сих пор не найдено“ (20, с.11). Таким образом, естественное влечение отдельных учащихся к наиболее трудным математическим задачам свидетельствует о склонности их к серьезной математической работе, о наличии у них способностей к успешным занятиям математикой. Отмечается и такая характерная особенность способных к математике учащихся, как переувлечение математической работой с невозможностью быстро выключиться из процесса математических размышлений. Как правило, для переключения на новую, не математическую работу увлеченным математикой учащимся требуется времени гораздо больше, чем ученикам, не отличающимся особой склонностью к такого рода занятиям. Одним из характерных признаков повышенных математических способностей учащихся и переходу их к зрелому математическому мышлению может считаться и относительно раннее понимание надобности аксиом как исходных истин при доказательствах. Доступное изучение аксиом и аксиоматического метода в значительной мере способствует ускорению развития дедуктивного мышления учащихся. Замечено также, что эстетическое чувство в математической работе у разных учащихся проявляется по-разному. По-разному различные ученики отвечают и на попытку воспитать и развить у них эстетическое чувство, соответствующее их математическому мышлению. Наиболее способных к математике учащихся отличает особый эстетический склад математического мышления. Он позволяет им сравнительно легко понимать некоторые теоретические тонкости в математике, улавливать безупречную логику и красоту математических рассуждений, фиксировать малейшую шероховатость, неточность в логическом строе математических концепций. Самостоятельное устойчивое стремление к оригинальному, нешаблонному, изящному решению математической задачи, к гармоническому единству формальных и семантических компонентов решения задачи, блестящие догадки, иногда опережающие логические алгоритмы, порою трудно переложимые на язык символов, свидетельствуют о наличии в мышлении чувства хорошо развитого математического предвидения, являющегося одной из сторон эстетического мышления в математике. Повышенные эстетические эмоции при математическом размышлении присущи в первую очередь учащимся с высоко развитыми математическими способностями и совместно с эстетическим складом математического мышления могут служить существенным признаком наличия математических способностей у школьников. Следует отметить и сравнительно большую скорость продвижения способных учащихся в овладении математическими знаниями и повышенную быстроту решения математических задач. Как правило, у наиболее способных к математической работе учащихся скорость восприятия и усвоения новых знаний повышенная. Считая это качество с большой вероятностью одним из необходимых, хотя и далеко не достаточным условием наличия математических способностей, следует рассматривать это условие, как компонент их структуры, причем такой, по которому наиболее легка первоначальная ориентация в обнаружении наиболее способных к математике учеников. И, наконец, выделяется такой компонент структуры математических способностей, как характерные особенности памяти учащихся способных к математике. Наиболее способные к математике в процессе математической работы ориентируют свое мышление прежде всего на хорошее понимание познаваемого и только затем на запоминание его. При этом они стремятся как можно глубже осознать, понять не только отдельные математические факты, но и основные идеи, связывающие их друг с другом и остальным усвоенным ранее математическим материалом, четко определить логическое место новых познаваемых фактов в общей системе определенных математических знаний.

Помимо указанных компонентов математических способностей, которые можно и должно развивать, необходимо учитывать еще и то, что успешность осуществления математической деятельности является производным определенного сочетания качеств:

Активного положительного отношения к математике, интереса к ней, стремления заниматься ею, переходящими на высоком уровне развития в страстную увлеченность.

Ряда характерологических черт; прежде всего трудолюбия, организованности, самостоятельности, целеустремленности, настойчивости, а также устойчивых интеллектуальных качеств, чувства удовлетворения от напряженной умственной работы, радость творчества, открытия и так далее.

Наличия во времени осуществления деятельности благоприятных для ее выполнения психических состояний, например, состояние заинтересованности, сосредоточенности, хорошего “психического” самочувствия и так далее.

Определенного фонда знаний, умений и навыков в соответствующей области.

Определенных индивидуально-психологических особенностей в сенсорной и умственной сферах, отвечающих требованиям данной деятельности.

Таким образом, под способностями к изучению математики мы будем понимать индивидуально-психологические особенности, отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обуславливающие при прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики.

1.3 Выраженность компонентов математических способностей в младшем школьном возрасте

Способности человека не бывают даны от рождения в готовом виде. Не подлежит сомнению, что все способности, в том числе и математические, развиваются в процессе взаимодействия ребенка с окружающим миром, под влиянием обучения и воспитания в самом широком значении этих слов. Не менее несомненно и то, что даже в относительно одинаковых условиях жизни и деятельности психические свойства детей неодинаковы и развиваются в разной степени. Известно, что способности детей развиваются по многим направлениям. Ребенок овладевает бытовыми навыками, речью, в дальнейшем ¾ знаниями основ наук, трудовыми умениями, то есть всем необходимым для жизни в обществе. При этом школьники, осваивая самые различные учебные предметы, обнаруживают не только те или иные специальные данные, но и широту своих возможностей.

Математические способности детей, как и другие стороны их личности, находятся в процессе становления и связаны с ходом возрастного развития. Возрастные особенности имеют самое непосредственное отношение к формированию способностей и индивидуальных различий по способностям. Очень важно ¾ именно в связи с вопросом о способностях