Дипломная работа: Содержание и значение математической символики

Во второй книге «Арифметики» он так исследует, например, уравнение второго порядка F (х, у) = 0.

Это уравнение задает коническое сечение. Всякому рациональному решению уравнения соответствует точка кривой с рациональными координатами. Пусть a, b– такие координаты, т. е. F (a, b) = 0.

Диофант делает подстановку у = b + k (х – а), или y = b + kt, х = а + t.

ТогдаF (а + t, b + kt) = F (a, b) + tA (а, b) + ktB (а, b) + t² C (a, b, k) = 0.

Но F (a, b) = 0, поэтому t = –.

Это означает, что каждому рациональному значению параметра k соответствует рациональное же значение t, а значит, рациональная точка кривой. Очевиден геометрический смысл решения: через рациональную точку кривой (a, b) проводится прямая y – b =k (x – a) и находятся вторая точка ее пересечения с кривой.

Методы Диофанта впоследствии применяли и развивали арабские ученые, Виет (1540—1603), Ферма, Эйлер (1707—1783), Якоби (1804—1851), Пуанкаре (1854—1912).

Оценивая творчество Диофанта, Цейтен отмечает существенную деталь: «Наконец, мы желаем здесь вкратце указать на важную роль, сыгранную впоследствии сочинениями Диофанта. Благодаря тому, что определенные уравнения первой и второй степени были облечены у него в численную оболочку они оказались гораздо более доступными для людей, не посвященных еще в культуру греческой математики; более доступными, чем те абстрактные геометрические формы, которые принимают у Евклида уравнения второй степени и которые мы встречаем в сохранившихся до нас трудах других геометров для выражения уравнений первых двух степеней. Поэтому Диофант и явился главным посредником в процессе усвоения греческой алгебры арабами, благодаря которым, в свою очередь она проникла в Европу в эпоху возрождения наук».

2.1.3 Алгебра индусов.

Начиная с V в. центр математической культуры переместился на восток - к индусам и арабам. Математика индусов резко отличалась от математики греков она была числовой. Индусы не были озабочены строгостью эллинов в доказательствах и обосновании геометрии. Они довольствовались чертежами, на которых у греков основывалось доказательство, сопровождая их указанием: «Смотри!». Предполагается, что благодаря числовым выкладкам и практическому эмпиризму индусам удалось постичь теоремы и методы греков, теоретического обоснования которых они, возможно, по-настоящему не понимали.

Основные достижения индусов состоят в том, что они ввели в обращение цифры, называемые нами арабскими, и позиционную систему записи чисел, обнаружили двойственность корней квадратного уравнения, двузначность квадратного корня и ввели отрицательные числа.

Индусы рассматривали числа безотносительно к геометрии. В этом их алгебра имеет сходство с алгеброй Диофанта. Они распространили правила действия над рациональными числами на числа иррациональные, производя над ними непосредственные выкладки, а не прибегая к построениям, как это делали греки. Например, им было известно, что

Греки, не знавшие отрицательных чисел, решая уравнения, преобразовывали их так, чтобы обе части уравнения при значении неизвестной, удовлетворяющей этому уравнению, были положительными. Если этого не происходило, то менялись условия задачи. Индусы в аналогичных ситуациях не были стеснены в своих действиях: они либо отбрасывали получающиеся отрицательные решения, либо интерпретировали их как долг, задолженность. Отсюда сделан был естественный шаг к установлению правил действий над величинами при любом выборе знаков этих величин, а также к выявлению наличия двух корней у квадратных уравнений и двузначности квадратного корня.

Индусами был сделан шаг вперед по сравнению с Диофантом и в совершенствовании алгебраической символики: они ввели обозначения нескольких различных неизвестных и их степеней, которые были, как у Диофанта, по сути дела сокращениями слов. Кроме того, они искали решения неопределенных уравнений не в рациональных, а в целых числах.

2.1.4 Алгебра арабов.

Дальнейшее развитие математика получила у арабов, завоевавших в VII в. Переднюю Азию, Северную Африку и Испанию. Создались благоприятные условия для слияния двух культур – восточной и западной, для усвоения арабами богатого математического наследия эллинов и индусской арифметики и алгебры.

Но еще до того как началось усиленное изучение арабами трудов древних математиков, в 820 г., вышел трактат по алгебре «Краткая книга об исчислении ал-джабра и ал-мукабалы» Мухаммеда ибн Муса ал-Хорезми (т. е. из Хорезма, 787 – ок. 850г. н. э.), где давались числовое и геометрическое решения уравнений первой и второй степеней.

Название трактата соответствует операциям при решении уравнений: «ал-джабр» (восстанавливать) означает восстановление отрицательного члена в одной части уравнения в виде положительного в другой. Например, преобразовав уравнение

2х² + Зх -2 = 2х к виду 2х² + Зх = 2х + 2, мы произвели операцию ал-джабр.

«Ал-мукабала» означает сопоставление подобных членов, приведение их к одному; в нашем уравнении подобные члены Зх и 2х, поэтому получим 2x² + x = 2.

Модификация слова ал-джабр породила более позднее алгебра. Аналогично, слово алгорифм (алгоритм) произошло от ал-Хорезми.

Основное внимание в трактате ал-Хорезми обращает на решение уравнений вида

ax² = bx, ax² = c, ax² + bx = c, ax² + c = bx, bx + c = ax² , bx = c,

которые формулирует словесно, например, так: «квадраты и корни равны числу» (ах² + bх = с). Он высказывает правила, дающие только положительные решения уравнений, определяет условия, при которых эти решения существуют. Обоснование правил ал-Хорезми дает в духе геометрической алгебры древних.

От арабов Европа получила следующий способ решения уравнения

х² + ах = b.

Построим квадрат х² , к его сторонам приложим четырехугольники длины х + 2а/4 = х + а/2 и ширины а/4. Тогда площадь полученного квадрата = x² + ax + .

Значит, x² + ax + = = b + , = b + .

Величины b и а известны, поэтому можно построить , откуда х + = -. Впрочем, ал-Хорезми, приведший в своем сочинении этот метод, уравнению ах² + с = bх приписывал два корня.