Дипломная работа: Теория вероятности и математическая статистика

Рассмотрим конечную или бесконечную систему попарно несовместных событий, каждое из которых принадлежит алгебре F.

. Если , то .

Алгебра событий называется s - алгеброй, если эта система событий содержит в себе все конечные суммы и произведения из алгебры F и их дополнения, а также все бесконечные суммы и произведения из алгебры и их дополнения.

Пример: В пространстве R1 зададим в качестве поля событий все конечные интервалы вида a³ x> b, b¹ a.

Распространение этой алгебры на s - алгебру приводит к понятию борелевской алгебры, элементы которой называются борелевскими множествами. Борелевская алгебра получается не только расширением поля вида a³ x> b, но и расширением полей вида a> x³ b, a³ x³ b.

Над наблюдаемым полем событий F задается счетно-аддитивная мера - числовая скалярная функция, элементами которой являются элементы поля F, т.е. события. Она удовлетворяет следующим трем условиям-аксиомам теории вероятности.

. P(A) - число, принадлежащее сегменту [0, 1] и называющееся вероятностью наступления события A.

P(A) Î [0, 1] P(U)=1.

Пусть имеется A1, A2, A3,..., Ak - система попарно несовместных событий

Если , то .

Теорема о продолжении меры.

Построим минимальную s - алгебру, которой принадлежит поле событий F (например, борелевская s - алгебра - это минимальная s - алгебра, которая содержит поле всех полуинтервалов ненулевой длины).

Тогда доказывается, что счетно-аддитивная функция P(A) однозначно распространяется на все элементы минимальной s - алгебры и при этом ни одна из аксиом не нарушается.

Таким образом, продленное P(A) называется s - аддитивной мерой.

s - алгебра содержит ненаблюдаемые события наряду с наблюдаемыми.

Но в аксиоматической теории вероятности считается, что может произойти любое событие из s - алгебры.

Расширение поля наблюдаемых событий на s - алгебру связано с невозможностью получить основные результаты теории вероятности без понятия s - алгебры.

Определение вероятностного пространства.

Вероятностным пространством называется тройка (W , s , P), где

W - пространство элементарных событий, построенное для данного испытания;

s - s -алгебра, заданная на W - системе возможных событий, которая интересует исследователя, в результате проводимых испытаний;

P - s - аддитивная мера, т.е. s - аддитивная неотрицательная функция, аргументами которой являются аргументы из s - алгебры и удовлетворяющая трем аксиомам теории вероятности.

. P(A) - называется вероятностью наступления события A.

Вероятность достоверного события равна 1 P(W )=1.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей

, .

k - возможно бесконечное число.

Следствие: