Доклад: Интеграл помогает доказать неравенство Коши

(S_n ) ^n–k

≤ ln

(S_n )^k

a₁ a₂ ... a_k

. (9)

Поскольку среди чисел a₁ , a₂ , ..., a_n есть различные, в цепочке неравенств (3) какие-то неравенства выполняются «строго». Тогда эти «строгие» неравенства перейдут в (5) или (7). Значит, по крайней мере, одно из неравенств (6), (8) тоже будет «строгим». Поэтому вместо (9) мы можем утверждать

ln

ak+1 ak+2 ... an (Sn ) n–k

< ln

(Sn )k a1 a2 ... ak

,

или

ak+1 ak+2 ... an (Sn ) n–k

<

(Sn )k a1 a2 ... ak

,

откуда вытекает (2).

Если же a₁ = a₂ = ... = a_n , то, очевидно,

a1 + a2 + ... + an n

=

n



a1 a2 ... an

.