Доклад: Интеграл помогает доказать неравенство Коши
[Решил добавить к уже выложенным доказательствам неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим ещё одно. Оно не такое потрясное по оригинальности как доказательства Бора и Гурвица, а любопытно, скорее, простотой используемых средств и ловкостью автора. – E.G.A.]
Пусть a1 , a2 , ..., an – положительные числа, среди которых есть различные. Тогда выполняется неравенство Коши:
| (1) |
Обозначим левую часть неравенства Коши через Sn и докажем его в такой форме:
| (Sn ) n > a1 a2 ... an . | (2) |
Очевидно, не ограничивая общности, можно считать, что для некоторого k такого, что 1 ≤ k ≤ n – 1,
| a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ ak ≤ Sn ≤ ak+1 ≤ ... ≤ an–1 ≤ an . | (3) |
Основой доказательства неравенства (2) будет неравенство
| (4) |
где 0 < a < b (см. рисунок). Заметим, что при a = b вместо (4) имеем
|
b – a b | = ln |
b a | = |
b – a a | . |
Из (3) и (4)
|