Доклад: Сопряженная однородная задача
и следовательно, матрица -невырожденная. Подстановка выражения (9) в соотношение (8) дает:
(11)
Сопряженная однородная задача.
Введем следующее невырожденное линейное преобразование в вектор :
(12),
где
Заметим, что указанное преобразование может быть выполнено бесчисленным множеством способов, в зависимости от выбора матрицы А. При заданном ненулевом векторе две последние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы придать любые требуемые значения компонентам. Это замечание используется в дальнейшем при нахождении вида сопряженных граничных условий. Поскольку , мы можем обратить преобразование (12) и получить:
.
При этом (11) можно переписать как:
или
(13),
где (14)
Билинейная форма в соотношении (13) называется каноническим представлением билинейной формы в правой части тождества (11).
Для того чтобы найти граничные условия сопряженной задачи, положим в соотношении (13)
и и получим:
(15)
Из формулы (21) следует, что однородные граничные условия, эквивалентны равенствам:
(16)
(17)
С учетом равенств (16) и (17) соотношение (15) принимает вид:
(18)
При ненулевом векторе последние две строки матрицы А могут быть выбраны так, чтобы компоненты и принимали любые требуемые значения, лишь бы и не обращались в нуль одновременно. В частности, нижние строки матрицы А можно выбрать из условия . При этом из соотношения (11) следует, что . Аналогичным образом, нижние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы выполнялись равенства . При этом из соотношения (11) вытекает, что . Таким образом, задача, сопряженная задаче (19)
имеет вид:
(20)
где и связаны с компонентами вектора соотношением (14). Краевая задача (19) называется самосопряженной тогда и только тогда, когда и каждая из двух компонент и является линейной комбинацией и , т.е. пропорциональна .
Один из определителей:
матриц-блоков