Доклад: Сопряженная однородная задача

должен быть отличным от нуля. Чтобы иметь возможность сравнить эти результаты с теми. которые были получены в предыдущем параграфе, предположим. что . Далее, выберем такие и , чтобы строки матрицы А были линейно независимы.

Например, положим и .

При этом матрица А примет вид:

(21).

Из формулы (19) следует, что .

Тогда

(22)

Подставляя матрицы (20) и (9) в соотношение (14) имеем (14а):

Следовательно, граничные условия сопряженной задачи имеют вид:

(22)

(23)

Для того, чтобы краевые задачи были самосопряженными необходимо, чтобы и чтобы каждая из компонент и являлась линейной комбинацией и . Как указывалось выше, тогда и только тогда, когда . При этом условия (21) и (20) принимают вид:

(24)

Разрешая равенства относительно и при и заменяя на , получаем:

(25)

Сравнивая граничные условия (24) и (25), заключаем, что они совпадают тогда и только тогда, когда:

(26)

Краевая задача при самосопряжена тогда и только тогда, когда выполнены соотношения (24) и равенство .

Условие разрешимости.

Определив сопряженную краевую задачу, вернемся к решению неоднородной задачи. Используя определение (25), перепишем формулу Грина в виде:

(27)

,

тогда из соотношения (27) вытекает, что условие разрешимости имеет вид:

(27)

Для того, чтобы сравнить условие (27) с условием разрешимости, используем связь и с вектором , описываемую формулой (14а) т.е.:

(28)

При этом соотношение (27) принимает вид:

Если иметь дело с граничными условиями общего вида можно выразить какие-либо два из граничных значений через два других.