Контрольная работа: Анализ и моделирование цифровых и аналоговых схем

При реализации анализа по методу Зейделя при вычислении очередного из элементов вектора Y_i в правую часть уравнений системы там, где это возможно, подставляются не элементы вектора Y_i-1 , а те элементы вектора Y_i , которые уже вычислены к данному моменту, т.е. итерации выполняются по формуле: Y_i = y (Y_i ,Y_i-1 , X).

Результат вычислений по методу Зейделя без ранжирования, для исходного произвольного порядка уравнений модели представлен в таблице 5. Для организации вычислений использовалось значение начального приближения вектора выходных переменных Y₀ , полученное в задаче 2.

Таблица 5

№ итерации	Начальное приближение Y0
	g	p	f	h	q
	0	1	1	1	1
1 2	0 0	1 1	0 0	1 1	1 1

Задача №4. Моделирование аналоговых схем (метод узловых потенциалов)

Цель: освоение метода узловых потенциалов моделирования аналоговых схем.

Задание: для заданного варианта схемы задачи №6 разработать модель топологии с использованием метода узловых потенциалов: построить матрицу «узел-ветвь», записать топологические уравнения в общем виде; в развернутой матричной форме; в виде системы уравнений по законам Кирхгофа.

Решение:

В методе узловых потенциалов в вектор базисных координат включаются потенциалы всех узлов схемы, за исключением одного узла, принимаемого за опорный. Топологические уравнения – это уравнения закона токов Кирхгофа, записанные для узлов схемы, и уравнения связи вектора напряжений ветвей U с вектором узловых потенциалов:

A × I=0;

A ^T j +U=0,

где А – матрица «узел-ветвь»; A ^T - транспонированная матрица «узел-ветвь»; I – вектор токов ветвей. Строки матрицы соответствуют узлам, а столбцы - ветвям схемы. В столбце i -той ветви записываются единицы на пересечении со строками узлов, при чем +1 соответствует узлу, в который ток i -той ветви втекает, а -1 соответствует узлу, из которого этот ток вытекает. Матрица «узел-ветвь» для схемы с введенными обозначениями узлов, полученной в задаче 6 и показанной на рисунке 10, имеет вид, представленный на рисунке 14 (узел 8 принят в качестве опорного).

С1	С2	С3	С4	С5	С6	R1	R2	R3	R4	R5	E1
1	0	0	0	0	0	0	-1	0	0	0	0	+1
2	-1	-1	0	0	0	0	+1	0	0	0	0	0
3	0	+1	0	0	0	0	0	-1	-1	0	0	0
4	0	0	-1	0	0	0	0	+1	0	0	0	0
5	0	0	0	-1	0	0	0	0	+1	-1	0	0
6	0	0	0	0	-1	0	0	0	0	+1	0	0
7	0	0	0	+1	+1	-1	0	0	0	0	-1	0

Рисунок 14

Запишем топологические уравнения по закону токов Кирхгофа

- в общем виде:

A × I=0;

- в развернутой матричной форм

- в виде системы уравнений, которая получена из матричной формы умножением вектора-столбца токов ветвей схемы на матрицу «узел-ветвь»:

Запишем топологические уравнения по закону напряжений через узловые потенциалы:

- в общем виде:

A ^T j +U=0;

- в развернутой матричной форме (в транспонированной матрице столбцы соответствуют строкам исходной матрицы «узел-ветвь»):

- в виде системы уравнений, которая получена из матричной формы умножением вектора-столбца узловых потенциалов на матрицу «узел-ветвь» после приведения ее к виду U=-A ^T j :

Таким образом, модель топологии заданной схемы получена с использованием метода узловых потенциалов в виде двух систем уравнений - по закону токов Кирхгофа и по закону напряжений через узловые потенциалы.