Контрольная работа: Численное интегрирование функций

где m=n/2

h=b-a/n

b, a - концы рассматриваемого отрезка.

Для сравнения результатов вычисления вышеизложенными формулами численного интегрирования вычислим 3-мя способами следующий интеграл, разделив отрезок [0, ] на 6 равных отрезков:

h=

По формуле левых прямоугольников:

По формуле трапеции:

По формуле Симпсона:

А результат полученный аналитически равен

=1

Следовательно, можно сделать вывод о том, что численный метод интегрирования по формуле Симпсон является более точным, но используется в общем случае при делении рассориваемого отрезка на чётное число промежутков.

2. Квадратурные формулы

Формулы прямоугольников являются наиболее простыми квадратурными формулами. Разобьем отрезок интегрирования [a, b ] на п равных частей длиной . Заметим, что величину h называют шагом интегрирования. В точках разбиения х ₀ = а , х ₁ = a + h , ..., x_n = b отметим ординаты y ₀ , y ₁ ,…, y_n кривой f (x ), т.е. вычислим у_i = f (x_i ), x_i = a+ ih = x_{i -1} + h (i = ). На каждом отрезке длиной h построим прямоугольник со сторонами h и y_i , где i = , т.е. по значениям ординат, вычисленных в левых концах отрезков. Тогда площадь криволинейной трапеции, определяющую величину интеграла (1), приближенно можно представить в виде суммы площадей прямоугольников (рис. 1). Отсюда получим формулу прямоугольников:

. (3)

Если при вычислении интегральной суммы брать значения функции f (x ) не в левых, а в правых концах отрезков длиной h , что показано на рис. 1 пунктирной линией, то получим второй вариант формулы прямоугольников:

. (4)

Третий вариант формулы прямоугольников можно получить при использовании значений функции f (x ), вычисленных в средней точке каждого отрезка длины h (рис. 2):

. (5)

Формулы (3), (4) и (4) называют формулами левых, правых и центральных прямоугольников соответственно.

Рис. 1

Рис. 2

Формула трапеций. Здесь на каждом элементарном интервале [x_{i -1} , x_i ] длины h точки с координатами (x_{i -1} , y_{i -1} ) и (x_i , y_i ) соединяются отрезком (рис. 3). Тогда площадь трапеции, построенной на этом интервале, определяется произведением 0,5h (y_{i -1} + y_i ). Суммируя площади элементарных трапеций для i = получим приближенное значение интеграла:

. (6)

Рис. 3.

Формула Симпсона. Разобьем интервал интегрирования на 2n равных частей длиной . На каждом отрезке [x_i , x_i+2 ] подынтегральную функцию f (х ) заменим параболой, проходящей через точки (x_i , y_i ), (x_{i +1} , y_{i +1} ), (x_{i +2} , y_{i +2} ). Тогда приближенное значение интеграла определяется формулой Симпсона:

. (7)

При вычислениях на ЭВМ более удобна следующая формула: