Контрольная работа: Численное интегрирование функций

Метод Симпсона - один из наиболее широко известных и применяемых методов численного интегрирования, он дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до третьего порядка включительно.

Формула Ньютона. Приближенное значение интеграла по формуле Ньютона вычисляется следующим образом:

где число участков разбиения кратно трем, т.е. составляет 3n . При разработке программ для ЭВМ удобнее использовать эквивалентную формулу:

Метод Ньютона дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до четвертого порядка включительно.

3. Автоматический выбор шага интегрирования

В результате расчета по формулам (3) - (8) получают приближенное значение интеграла, которое может отличаться от точного на некоторую величину, называемую погрешностью интегрирования. Ошибка определяется формулой остаточного члена R , различной для каждого из методов интегрирования. Если требуется вычислить значение интеграла с погрешностью, не превышающей e, то необходимо выбрать такой шаг интегрирования h , чтобы выполнялось неравенство R (h ) £e. На практике используют автоматический выбор значения h , обеспечивающего достижение заданной погрешности. Сначала вычисляют значение интеграла I (n ), разбивая интервал интегрирования на п участков, затем число участков удваивают и вычисляют интеграл I (2n ). Процесс вычислений продолжают до тех пор, пока не станет справедливым условие:

,

где P – порядок точности квадратурной формулы. Для формул левых и правых прямоугольников P = 1, для формул центральных прямоугольников и трапеций P = 2, для формул Симпсона и Ньютона P = 4. В результате полагают, что I »I (2n ) с точностью e.

Заключение

В ходе выполнения курсовой работы был проведен сравнительный анализ численных методов, таких как численное интегрирование.

В настоящее время появилось значительное число различных программных продуктов (MathCAD, MathLABи т.д.), с помощью которых, задавая только входные данные, можно решить значительное число задач.

Для более глубокого анализа численных методов мы использовали средства MathCAD, а также алгоритмические языки программирования.

Б иблиографический список

1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1960. 659 с.

2. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высш. шк., 1994. 544 с.

3. Ракитин В.И., Первушин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров: Учеб. пособие. М.: Высш. шк., 1998. 383 с.

4. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

Размещено на http://www.