Математика / Контрольная работа: Доказательство бесконечности некоторых видов простых чисел

Контрольная работа: Доказательство бесконечности некоторых видов простых чисел

последняя известная нам пара простых чисел-близнецов этого вида. Используя формулы (3) мы увидим, что все простые числа от до выбивают

(8)

часть чисел(6). А , используя формулу (4) мы получим, что на все остальные простые числа останется

(9)

часть чисел (6).

Для того, чтобы выяснить есть ли еще другие пары простых чисел-близнецов в последовательности (6) больше за (7), достаточно исследовать формулу (9) на промежутке до .

Если

(10)

где А-количество пар чисел (6) на промежутке от до ,тогда на этом промежутке есть еще хотя бы одна пара простых чисел-близнецов данного вида

Так как

тогда последнее число вида (7) меньше , которое будет делиться простыми числами меньшими за , будет число

С учетом этого формула (10) примет вид

где видно, что левая часть больше единицы, а это значит, что количество пар простых чисел-близнецов бесконечно.

Для примера рассмотрим простые числа-близнецы вида .

Пусть наибольшая пара таких чисел. Так как числа такого вида нечетные, значит, не принимает участия. Выражение (10) для данного случая примет вид , где очевидно, что оно больше единицы, а это значит, что количество пар простых чисел-близнецов вида бесконечно. Таким же способом можно рассматривать и более сложные многочлены первой степени. Очень легко доказывается и теорема Чебышева, Гольдбаха-Эйлера.

Рассмотрим многочлен второй степени

(11)

Делителями его будут простые числа вида

(12)

Подставляя в (11) значения от до получим ряд чисел (13). Пускай наибольшее простое число вида . Требуется доказать что есть еще простые числа вида больше за .