Контрольная работа: Эконометрика 8

х - независимая, объясняющая переменная, регрессор, факторный признак;

U – остаточная компонента, случайный член;

a , β - неизвестные параметры.

Уравнение (1) называется регрессионным уравнением.

Задача регрессионного анализа состоит в получении оценок неизвестных параметров a и β и в определении положения прямой по точкам Р (фактическим значениям). Зависимая переменная состоит из неслучайной и случайной составляющих.

Предположим, что мы нашли эти оценки и можно записать уравнение:

ŷ = a + b х,

где а - регрессионная постоянная, точка пересечения линии регрессии с осью OY ;

b - коэффициент регрессии, угол наклона линии регрессии, характеризующий отношение D Y ¤D X ;

ŷ - теоретическое значение объясняемой переменной.

Как известно в парной регрессии выбор вида математической модели может осуществляться тремя видами:

1. Графическим.

2. Аналитическим.

3. Экспериментальным.

Для выбора функции, описывающей наблюденные значения, можно использовать графический метод. Исходные данные наносятся на координатную плоскость. На оси абсцисс откладывают значения факторного признака, а на оси ординат - значения результирующего признака. Расположение точек покажет примерную форму связи. Как правило, эта связь является криволинейной. Если кривизна этой линии невелика, то можно принять гипотезу о существовании прямолинейной связи.

Функцию потребления изобразим в виде диаграммы рассеивания. Для этого в системе координат на оси абсцисс отложим значение дохода, а на оси ординат - расходы на потребление условно­го товара. Расположение точек, соответствующих наборам значений "доход - расход на потребление", покажет пример­ную форму связи (рисунок 1).

Визуально, по диаграмме, почти никогда не удаётся однозначно назвать наилучшую зависимость.

Перейдём к оценке параметров выбранной функции a и b способом наименьших квадратов.

Проблема оценивания может быть сведена к "классической" задаче отыскания минимума. Переменными теперь оказываются оценки а и b неизвестных параметров предполагаемой связи у и х . Для отыскания наименьшего значения какой-либо функции сначала надо найти частные производные I порядка. Затем каждую из них приравнять нулю и разрешить полученную систему уравнений относительно переменных. В нашем случае такой функцией является сумма квадратов отклонений - S , а переменными - а и b . То есть мы должны найти = 0 и = 0 и разрешить полученную систему уравнений относительно а и b .

Выведем оценки параметров по методу наименьших квадратов, предполагая, что уравнение связи имеет вид ŷ = a + b х . Тогда функция S имеет вид . Дифференцируя функцию S по а , мы получаем первое нормальное уравнение, дифференцируя по b - второе нормальное уравнение.

,

,

После соответствующих преобразований получим:

(*)

Существуют упрощенные правила построения системы нормальных уравнений. Применим их к линейной функции:

1) Перемножим каждый член уравнения ŷ = a + b х на коэффициент при первом параметре (а ), то есть на единицу.

2) Перед каждой переменной поставим знак суммирования.

3) Свободный член уравнения умножим на n .