Контрольная работа: Элементы аналитической геометрии

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

??????? ???? ??????????? ?????? ???????? ??????? ???????? ?????????. ????? ???? ??????? ?? 3-? ????????? ? ????? ????????????:
?????????? ??????? ???????

и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

.

Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A∙X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением .

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A-1, обратную матрице A:

.

Поскольку A^-1 A = E и E ∙X = X , то получаем решение матричного уравнения в виде X = A^-1 B .

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных . Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A^-1 B .

В нашем случае матричная запись системы уравнений будет выглядеть следующим образом: X∙A=B, а решение матричного уравнения получаем в виде X = B∙ A^-1 .

Вычислим обратную матрицу А^-1 .

Определитель матрицы

Система совместна и имеет единственное решение.

Вычислим союзную матрицу, состоящую из алгебраических дополнений элементов матрицы А.

Союзная матрица .

Транспонируя союзную матрицу, находим к матрице А присоединенную матрицу.

Присоединенная матрица .

Вычислим обратную матрицу по формуле: . Получим следующий результат:

.