Контрольная работа: Генерирование коррелированных случайных процессов в среде LabVIEW

а) б)

Рис. 5

2. Генерирование коррелированных случайных последовательностей

Чаще всего для генерирования коррелированных случайных последовательностей используется метод формирующего фильтра. Если на вход линейного формирующего фильтра подать белый шум x(t), то на его выходе будет коррелированный случайный процесс y(t) с корреляционной функцией, определяемой характеристиками фильтра. Энергетический спектр случайного процесса связан с частотной характеристикой фильтра соотношением:

S_y (ω) = σ_x ² |K(jω)|² , ( 1)

а корреляционная функция определяется импульсной характеристикой фильтра.

Задача определения характеристик фильтра по заданной корреляционной функции (задача синтеза) достаточно сложна, поэтому в лабораторной работе мы остановимся только на вопросах реализации фильтров и оценки влияния параметров фильтра на форму корреляционной функции.

Метод скользящего суммирования В методе скользящего суммирования (скользящего среднего) выходной процесс определяется как весовая сумма отсчетов входного процесса, взятых в настоящий t = nΔt и предшествующие моменты времени:

y(nΔt) = b₀ x(nΔt) + b₁ x(nΔt – Δt) + b₂ x(nΔt – 2Δt) + … + b_k x(nΔt – kΔt). ( 2)

В следующий момент времени t = nΔt + Δt

y(nΔt + Δt) =

= b₀ x(nΔt +Δt) + b₁ x(nΔt) + b₂ x(nΔt – Δt) + … + b_k x(nΔt – (k – 1) Δt)

и т.д. для последующих моментов времени.

Значения корреляционной функции выходного процесса определятся как математическое ожидание произведения отсчетов выходного процесса, отстоящих друг от друга на интервал iΔt.

R_y (iΔt) = M{ y(nΔt)y(nΔt +iΔt)}.

Учитывая, что входной процесс не коррелирован и, следовательно,

M{ x(nΔt)x(nΔt +iΔt)} = σ_x ² δ_к (iΔt),

Получим

R_y (0) = σ_y ² = (b₀ ² + b₁ ² + b₂ ² + … + b_k ² )σ_x ² ,

R_y (Δt) = (b₀ b₁ + b₁ b₂ + b₂ b₃ + … + b_{k – 1} b_k )σ_x ² ,

R_y (2Δt) = (b₀ b₂ + b₁ b₃ + … + b_{r – 2} b_k )σ_x ² ,

R_y (kΔt) = b₀ b_k σ_x ² ,

R_y (kΔt + Δt) = 0.

Эти уравнения позволяют легко решить задачу анализа: рассчитать корреляционную функцию по известным коэффициентам b_i . Задача синтеза: найти коэффициенты фильтра b_i по заданной корреляционной функции в общем случае не решена. Но для треугольной корреляционной функции решение находится просто: все коэффициенты b_i одинаковы:

b_i = √(σ_y ² /σ_x ² )/k.

Если потребовать, чтобы дисперсии входного и выходного процессов были равными, то

b_i = 1/√k. ( 3)

Схема фильтра, построенного по выражению ( 2), приведена на рис. 6. Символ z^-1 означает задержку на интервал дискретизации. Фильтр скользящего суммирования (СС-фильтр) является фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтром) или нерекурсивным (трансверсальным) фильтром.