Контрольная работа: Графическое решение уравнений

На примере квадратичной функции мы рассмотрим графическое решение квадратного уравнения. Графиком квадратичной функции является парабола.

Что знали о параболе древние греки?

Современная математическая символика возникла в 16 веке.

У древнегреческих же математиков ни координатного метода, ни понятия функции не было. Тем не менее, свойства параболы были изучены ими подробно. Изобретательность античных математиков просто поражает воображение, – ведь они могли использовать только чертежи и словесные описания зависимостей.

Наиболее полно исследовал параболу, гиперболу и эллипс Аполоний Пергский , живший в 3 веке до н.э. Он же дал этим кривым названия и указал, каким условиям удовлетворяют точки, лежащие на той или иной кривой (ведь формул-то не было!).

Существует алгоритм построения параболы:

• Находим координаты вершины параболы А (х₀ ; у₀ ): х₀ =- b /2 a ;

• y₀ =ах_о ² +вх₀ +с;

• Находим ось симметрии параболы (прямая х=х₀ );

• Составляем таблицу значений для построения контрольных точек;

• Строим полученные точки и построим точки им симметричные относительно оси симметрии.

1. По алгоритму построим параболу y = x ² – 2 x – 3 . Абсциссы точек пересечения с осью x и есть корни квадратного уравнения x ² – 2 x – 3 = 0.

Существует пять способов графического решения этого уравнения.

2. Разобьём уравнение на две функции: y = x ² и y = 2 x + 3 . Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

3. Разобьём уравнение на две функции: y = x ² –3 и y =2 x . Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

4. Преобразуем уравнениеx ² – 2 x – 3 = 0 при помощи выделения полного квадрата на функции: y = ( x –1)² иy =4. Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

5. Разделим почленно обе части уравненияx ² – 2 x – 3 = 0 на x , получим x – 2 – 3/ x = 0 , разобьём данное уравнение на две функции: y = x – 2, y = 3/ x . Корни уравнения – абсциссы точек пересечения прямой и гиперболы.

5. Графическое решение уравнений степени n

Пример 1. Решить уравнение x ⁵ = 3 – 2 x .

Корнями данного уравнения является абсцисса точки пересечения графиков двух функций: y = x ⁵ , y = 3 – 2 x .

Ответ: x = 1.

Пример 2. Решить уравнение ³ √ x = 10 – x .

Корнями данного уравнения является абсцисса точки пересечения графиков двух функций: y = ³ √ x , y = 10 – x .

Ответ: x = 8.

Заключение

Рассмотрев графики функций: у = ax ² + bx + c , у = k / x , у = √ x , у = |x |, у = x ³ , у = x ⁴ , у = ³ √x , я заметила, что все эти графики строятся по правилу параллельного переноса относительно осей x и y .

На примере решения квадратного уравнения можно сделать выводы, что графический способ применим и для уравнений степени n.

Графические способы решения уравнений красивы и понятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков могут быть приближёнными.

В 9 классе и в старших классах я буду ещё знакомиться с другими функциями. Мне интересно знать: подчиняются ли те функции правилам параллельного переноса при построении их графиков.