Контрольная работа: Логический анализ E-структур с помощью графов

2) Все, кто носит титул пэра, никогда не принимают участия в скачках на мулах.

3) Все члены палаты лордов носят титул пэра.

Что из этого следует? Какими свойствами обладают те, кто принимает участи в скачках на мулах?

Указание: рекомендуется ограничить универсум только членами парламента и учесть, что парламент состоит только из двух палат (это, в частности означает, что множество членов палаты лордов является дополнением множества членов палаты общин).

При разработке и реализации алгоритмов и программ анализа рассуждений используется не наглядное изображение E‑структуры, а ее представление в виде некоторых соответствий. Эти соответствия состоят из множества пар, в которых первым элементом является литерал, а вторым элементом – множество литералов. Например, пары (, {A, C}) и (C, Æ) могут быть элементами такого соответствия. Число таких пар в каждом соответствии равно числу литералов в структуре. Одним из таких часто используемых соответствий является соответствие "Верхние конусы", которое содержит множество пар типа(литерал, верхний конус этого литерала).

Еще одним возможным соответствием является "CT-замыкание". Оно состоит из множества пар вида(литерал, множество литералов, достижимых из этого литерала).

В математике и логике инвариантом системы принято считать некоторое свойство, остающееся неизменным при выполнении определенных преобразований в системе. Для E‑структур примем в качестве такого преобразования построение ее CT-замыкания, т.е. добавление к исходным посылкам всех возможных полученных с помощью правил вывода следствий.

Оказывается, что к одному и тому же CT-замыканию нередко приводятся разные на первый взгляд системы исходных посылок. В то же время может оказаться, что некоторые незначительно отличающиеся друг от друга системы посылок имеют принципиально отличающиеся CT-замыкания. Все это позволяет считать CT-замыкание некоторой обобщающей характеристикой (логическим инвариантом) рассуждения, заданного E‑структурами.

Предположим, что E-структура R задана своими исходными посылками. Выделим какую-либо из этих посылок (например, A®B) и представим, что вместо нее в E-структуру R введена в качестве посылки ее контрапозиция (т.е. посылка ®). В этом случае суждение A®B будет уже не исходной посылкой R, а ее следствием, но в CT-замыкании структуры R обе эти посылки будут присутствовать и в первом, и во втором случае. При этом окажется, что и все CT-замыкание E-структуры R при такой замене останется неизменным.

Вполне возможна также ситуация, когда в исходных посылках E-структуры присутствует посылка, которая является следствием каких-то других ее посылок. В процессе вывода мы эту посылку получим, но она тут же будет изъята, так как при выводе мы обязательно проверяем новизну следствий и оставляем только те суждения, которых до этого не было в наличии. И опять же CT-замыкание таких, на первый взгляд разных, структур будет одним и тем же. И если в первой структуре имеются коллизии, то эти коллизии сохранятся, если мы вместо некоторых посылок введем их контрапозиции или добавим в посылки суждения, которые являются следствиями этих посылок.

Таким образом, если нас интересуют в E-структуре не следствия из ее исходных посылок, а вся структура в целом с коллизиями или без оных, то мы можем считать инвариантом E-структуры ее CT‑замыкание.

Возьмем в качестве примера сорит Кэрролла.

Все опытные люди компетентны;

Дженкинс всегда допускает грубые ошибки в работе;

Все компетентные люди не допускают грубых ошибок в работе.

Сделаем в нем следующие изменения:

1) первую и третью посылки заменим на их контрапозиции;

2) добавим во вторую посылку одно из следствий данной структуры;

3) изменим порядок посылок.

Тогда мы можем получить, например, такую последовательность исходных посылок:

Дженкинс некомпетентен и всегда допускает грубые ошибки в работе;

Каждый, кто допускает грубые ошибки в работе, некомпетентен;

Все некомпетентные люди неопытны.

Ясно, что посылки здесь отличаются, и следствия соответственно будут другими. К тому же в первой посылке не один, а два предиката суждения. Но если мы, используя одни и те же обозначения терминов, построим для каждого из этих случаев CT-замыкание и сравним их, то мы увидим, что они совпадают.

Отметим одну особенность E-структур. В них результат вывода не зависит от того, в каком порядке введены или перечислены исходные посылки. Этим они отличаются от Аристотелевых силлогизмов, в которых тип силлогизма, а во многих случаях и его результат зависит от порядка перечисления исходных посылок. Для E‑структур порядок ввода посылок становится существенным в тех случаях, когда появляются какие-либо коллизии. Тогда имеет смысл выделить из всего множества посылок такой E-структуры наиболее сомнительные и вначале исследовать систему без этих посылок. А потом уже на основании полученных результатов корректировать сомнительные посылки. Еще один вариант управления порядком ввода посылок мы рассмотрим в разделе о неполных рассуждениях.

В качестве упражнения рассмотрим две E-структуры E₁ и E₂ , заданные исходными посылками:

E₁ : X®(Y, ); Y®; Z®;

E₂ : X®Y; Z®(,); V®(,).

Определите с помощью построения и сравнения CT-замыканий этих структур, являются ли они инвариантными.