Контрольная работа: Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

из третьего;

из второго, подставив полученное ;

из первого, подставив полученные и .

В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда ответ будет записываться в виде фундаментальной системы решений.

Пример 2. Решить неопределенную СЛАУ 4-го порядка:

В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы

исходная система свелась к ступенчатой, где количество уравнений меньше, чем количество неизвестных:

Поэтому общее решение системы: x2=5x4–13x3–3; x1=5x4–8x3–1. Если положить, например, что x3=0, x4=0, то найдем одно из частных решений этой системы x1=-1, x2=-3, x3=0, x4=0.

Пример 3. Решить СЛАУ 4-ого порядка.

Условие:

х1 – 2х 2 – х3 + х4 = 1

х 1 – 8х 2 – 2х 3 – 3х 4 = -2

2х 1 + 2х 2 – х 3 + 7х 4 = 7

х 1 + х 2 + 2х 3 + х 4 = 1

Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Получится матрица 4х5, слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.

1 -2 -1 1 | 1

1 -8 -2 -3 | -2

2 2 -1 7 | 7

1 1 2 1 | 1

Проведём следующие действия:

a) из второй строки вычтем первую строку (cтрока 2 – строка 1);

b) из третьей строки вычтем первую строку, умноженную на 2 (cтрока 3–2 х строка 1)

c) из четвертой строки вычтем первую строку (cтрока 4 – строка 1). Получим:

1 -2 -1 1 | 1