Контрольная работа: Описание языка логики предикатов

4) p , q , r - символы для высказываний, которые называют высказывательными, или пропозиционными переменными (от лат. propositio – "высказывание");

5) V, Е - символы для кванторов, V - квантор общности, он символизирует выражения: все, каждый, всякий, всегда и т.п. Е - квантор существования, он символизирует выражения: некоторый, иногда, бывает, встречается, существует и т. п.;

6) логические связки:

^ - конъюнкция (соединительное "и");

v - дизъюнкция (разделительное "или");

→ - импликация ("если..., то...");

= - эквивалентность (если и только если..., то...");

¬- отрицание ("неверно, что...");

7) технические знаки: (;) - левая и правая скобки.

Других знаков, кроме перечисленных, алфавит языка логики предикатов не включает. Допустимые, т.е. имеющие смысл в языке логики предикатов выражения называются правильно построенными формулами — ППФ. Понятие ППФ вводится следующими определениями:

1. Всякая пропозициональная переменная — р, q, r,... есть ППФ.

2. Всякая предикатная переменная, взятая с последовательностью предметных переменных или констант, число которых соответствует ее местности, является ППФ: А1 (х), А2 (х, у), А3(х, у, г), А n (х,. у,..., п), где А1, А2, А3,..., А n — знаки метаязыка для предикаторов.

3. Для всякой формулы с предметными переменными, в которой любая из переменных связывается квантором, выражения V хА (х) и Е хА(х) также будут ППФ.

4. Если А и В — формулы (А и В — знаки метаязыка для выражения схем формул), то выражения:

А ^ В, AvB, А → В, А = В, ¬ А, ¬ В также являются формулами.

5. Любые иные выражения, помимо предусмотренных в п. 1-4, не являются ППФ данного языка.

С помощью приведенного логического языка строится формализованная логическая система, называемая исчислением предикатов.

Для буквенных обозначений видов суждений берутся гласные из латинских слов AffIrmo - 'утверждаю' и nEgO - 'отрицаю', сами суждения иногда записывают так: SaP, SiP, SeP, SoP.

С помощью приведенного искусственного языка строится формализованная логическая система, называемая исчислением предикатов. Систематическое изложение логики предикатов дается в учебниках по символической логике. Элементы языка логики предикатов используются в изложении отдельных фрагментов естественного языка.

Язык логики предикатов удобен для записи математических предложений. Он дает возможность выражать логические связи между понятиями, записывать определения, теоремы, доказательства. Приведем ряд примеров таких записей.

1) Определение предела числовой последовательности.

Здесь использован трехместный предикат Q(e ,n,n_o ):

2). Определение предела функции в точке.

Здесь использован трехместный предикат Р(e ,d ,х):

3). Определение непрерывности функции в точке.

Функция f(x), определенная на множестве Е, непрерывна в точке х₀ Î Е , если

Здесь также использован трехместный предикат Р(e ,d ,х).

4). Определение возрастающей функции.

Функция f(x), определенная на множестве Е, возрастает на этом множестве, если