Контрольная работа: Подвійний інтеграл

Звернемося до задач п. Якщо границі в рівностях (2) і (4) існують, то з цих рівностей і формули (6) отримуємо формули для обчислення об'єму циліндричного тіла

(7)

та маси пластинки

. (8)

Якщо у формулі (7) покласти , , то отримаємо формулу для обчислення площі області :

. (9)

Рівності (7) і (8) розглядають відповідно як геометричний та механічний зміст подвійного інтеграла, якщо підінтегральна функція невід'ємна в області.

Теорема ( достатня умова інтегровності функції). Якщо функція неперервна в замкненій обмеженій області , то вона інтегровна в цій області.

Є ще й інші умови існування подвійного інтеграла, але надалі ми вважатимемо, що підінтегральна функція в області інтегрування є неперервною.

Порівнюючи означення подвійного інтеграла (6) та означення визначеного інтеграла

,

бачимо, що конструктивно ці означення цілком аналогічні: в обох випадках розглядається деяка функція , але в першому випадку це функція однієї змінної, визначена на одновимірній області - відрізку , а в другому - це функція двох змінних, визначена у двовимірній області. В обох випадках область визначення розбивається на частини, в кожній з яких береться довільна точка і в ній знаходиться значення функції. Після цього знайдене значення функції множиться на міру відповідної частини області визначення. У випадку однієї змінної такою мірою була довжина відрізка , а у випадку двох змінних - площа області . Наступні кроки знову однакові: утворюються інтегральні суми і знаходяться їхні границі, коли міра частин області визначення прямує до нуля. Пізніше ми побачимо, що за цією самою схемою будується і потрійний інтеграл, тільки мірою області там є об'єм.

У зв'язку з цим, властивості подвійного інтеграла аналогічні відповідним властивостям визначеного інтеграла. Сформулюємо ці властивості.

Сталий множник можна винести за знак подвійного інтеграла:

, .

Подвійний інтеграл від суми двох функцій дорівнює сумі подвійних інтегралів від цих функцій:

.

Ця властивість має місце для суми довільного скінченного числа функцій.

Якщо в області функція , то

.

Якщо функції і визначені в одній і тій самій області і , то

.

(Адитивність подвійного інтеграла). Якщо область інтегрування функції розбити на області і , які не мають спільних внутрішніх точок, то

.

Ця властивість називається адитивністю подвійного інтеграла і справедлива для довільного скінченого числа областей, які складають область і не мають спільних внутрішніх точок.

(Оцінка подвійного інтеграла). Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області , яка має площу , то

,

де і - відповідно найменше і найбільше значення підінтегральної функції в області .

(Середнє значення функції.) Якщо функція неперервна в замкненій обмеженій області , яка має площу , то в цій області існує така точка що