Контрольная работа: Погрешности вычислений на ЭВМ

для a = x₁ x₂ ...x_n или a = x₁ /x₂ , где относительная погрешность произведения приближенных чисел определяется следующим образом:

Формула показывает, что относительные погрешности нескольких приближенных чисел складываются при выполнении операции умножения над этими числами.

Для предельной относительной погрешности формула имеет вид:

Аналогичным образом можно получить оценки погрешности частного двух приближенных чисел:

;

6. Погрешность функции

Основная задача теории погрешностей заключается в следующем: по известным значениям погрешностей исходных данных определить погрешность некоторой функции от этих величин.

Пусть задана функция f(x), значение которой требуется вычислить для приближенного значения аргумента , имеющего известную предельную абсолютную погрешность . Если функция f(x) дифференцируема в точке x₀ , то погрешность ее значения в этой точке можно оценить как

погрешность вычислительный приближенный функция

.

Считается, что формула справедлива, если относительные ошибки аргумента и результата малы по сравнению с единицей, т.е.

dx₀ << 1 и df(x₀ ) << 1.

Нетрудно заметить, что вычисление функции в точке с большим модулем производной может привести к значительному увеличению погрешности результата по сравнению с погрешностью аргумента (катастрофическая потеря точности).

7. Погрешность функции нескольких переменных

Пусть y = f(x₁ , x₂ , …, x_n ) – приближенное значение функции от приближенных аргументов, , …, , которые имеют абсолютные ошибки , , …, .

Для определения используют принцип наложения ошибок, согласно которому учитывают влияние погрешностей каждого из аргументов в отдельности, а затем полученные погрешности суммируют. Для этого вначале временно предполагают, что все аргументы, кроме x₁ являются точными числами, и находится соответствующая частная ошибка, вносимая только погрешностью этого аргумента :

,

где производная определяется по x₁ . Затем вычисляется частная ошибка, вносимая аргументом :

.

В итоге искомая погрешность функции , определяется суммой всех частных ошибок:

.

Условиями применимости этой формулы считается выполнение следующих неравенств:

dx_i << 1 (i = ); d f(x₁ , x₂ , …, x_n ) << 1.

8. Обратная задача теории погрешностей

Обратная задача теории погрешностей заключается в определении погрешностей исходных данных по заданной погрешности результата. С использованием понятия функции нескольких переменных эта задача формулируются следующим образом: определить предельные погрешности аргументов функции, чтобы погрешность функции в целом не превышала бы заданной величины.

Эта задача является математически неопределенной, так как одна и та же погрешность результата может быть получена при разных погрешностях исходных данных. В простейшем случае для решения этой задачи используют принцип равных влияний, согласно которому в формуле для определения предельной абсолютной погрешности функции нескольких аргументов вида

.