Контрольная работа: Постановка и основные свойства транспортной задачи
Вводят также вектор производства-потребления P 0 , где
.
Тогда ограничение (3.1.1) и (3.1.2) можно записать в векторной форме
, (1.5)
Свойства транспортной задачи
1. Для разрешимости Т-задачи необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие баланса
, (1.6)
то есть, чтобы суммарный объем производства равнялся объему потребления.
Доказательство. Пусть переменные xij , i = 1., m; j = 1., n удовлетворяют условиям (1.1), (1.2). Суммируя (1.1) по 
, а (1.2) по 
, получим:
.я
Отсюда , что и доказывает необходимость условия баланса Т-задачи.
Пусть справедливо условие (1.6). Обозначим 
, где 
.
Нетрудно доказать, что хij составляет план задачи. Действительно
Таким образом, доказана достаточность условия баланса для решения Т-задачи.
2. Ранг системы ограничений (1.1), (1.2) равен 
Доказательство. Так как количество уравнений (1.1), (1.2) равно 
, то ранг этой системы 
. Пусть, набор 
удовлетворяет всем уравнениям, кроме первых. Покажем, что он удовлетворяет также и первому уравнению.
Очевидно
Так как
, то
, отсюда
,
Учитывая условие баланса (1.6), получим
,
т.е. первое уравнение системы (1.1) тоже удовлетворяется.
Таким образом, ранг системы уравнений (1.1), (1.2) 
.
Докажем, что ранг системы уравнений (1.1), (1.2) равен точно 
. Для этого составим матрицу из первых ( ) компонентов векторов 
Очевидно, что эта матрица не вырождена. Поэтому векторы {
} образуют базис. Так как базис системы состоит из ( ) векторов, то и ранг системы (1.1), (1.2) .