Контрольная работа: Построение линии пересечения объёмных геометрических объектов

2.3 Аппроксимация кривой методом Фергюсона

Сегмент кривой может быть описан векторным уравнением:

r ( u )= a ₃ u ³ + a ₂ u ² + a ₁ u + a ₀ , (1)

где r ( u ) - радиус-вектор текущей точки кривой :

u – параметр, 0<=u<=1;

a1 – векторы коэффициентов i=0..3.

уравнение (1) – представляет собой векторную форму записи системы:

x(u)=a₁₃ u³ +a₁₂ u² +a₁₁ u+a₁₀ ;

y(u)=a₂₃ u³ +a₂₂ u² +a₂₁ u+a₂₀ ; (2)

z ( u )= a ₃₃ u ³ + a ₃₂ u ² + a ₃₁ u + a ₃₀ ;

Таким образом, для определения сегмента кривой необходимо знать 4 вектора или 12 коэффициентов. Обычно задаются значения r ( u ) и r ’( u ) на концах сегмента:

r(0)=a₀ ;

r(1)=a₃ +a₂ +a₁ +a₀ ; (3)

r’(0)=a₁ ;

r ’(1)=3 a ₃ +2 a ₂ + a ₁ ;

Решив систему, уравнений относительно (3) a ₀ , a ₁ , a _{2 ,} a ₃ и подставив полученные значения в уравнение сегмента кривой в форме Фергюсона:

r ( u )= r (0)(1-3 u ² +2 u ³ )+ r (1)(3 u ² -2 u ³ )+ r ’(0)( u -2 u ² + u ³ )+ r ’(1)( u ³ - u ² ).

Однако в индивидуальном задании дано 6 точек и не указаны значения производных на концах отрезка – делаю вывод, что аппроксимацию необходимо проводить для сплайна степени 5 – так, как для построения сплайна степени n необходимо знать n +1 радиус-вектор.

Итак, уравнение сегмента проходящего через заданные точки в векторной форме:

r(u)=a₅ u⁵ +a₄ u⁴ + a₃ u³ +a₂ u² +a₁ u+a₀ (4)

Система (2) запишется в следующем виде для плоского сплайна:

x(u)=a₁₅ u⁵ +a₁₄ u⁴ +a₁₃ u³ +a₁₂ u² +a₁₁ u+a₁₀ ;

y(u)=a₂₅ u⁵ +a₂₄ u⁴ +a₂₃ u³ +a₂₂ u² +a₂₁ u+a₂₀ ; (5)

Подставляя значения из заданной таблицы в систему (5) и решая её относительно коэффициентов a , получим шесть векторов входящих в уравнение кривой (4), которая проходит через шесть точек.

(6)

(7)

В результате решения системы (6) методом Гаусса получим:

a ₁₅ =117,1875; a ₁₄ =-255,208(3); a ₁₃ =-621,3541(6); a ₁₂ =563,958(3); a ₁₁ =195,41(6); a ₁₀ =49,0.

В результате решения системы (7) методом Гаусса получим: