Контрольная работа: Построение линии пересечения объёмных геометрических объектов

, (8)

где - радиус-вектор точек на кривой, а J_ni (t ) - аппроксимирующие многочлены Бернштейна, равные

(9)

Здесь 0£t £1 и, кроме того, предполагается, что tⁱ =1 при i =0 и t =0.

Ломаная Безье однозначно определяет форму кривой Безье. Изменяя положения вершин ломаной, можно управлять формой соответствующей кривой Безье. При этом следует иметь в виду следующее:

1. самой кривой в общем случае будут принадлежать только первая и последняя вершины ломаной Безье, остальные вершины будут лишь оказывать влияние на вид и гладкость кривой;

2. наклоны касательных векторов в крайних точках кривой Безье и ломаной Безье совпадают, поэтому при сопряжении двух кривых Безье, заданных ломаными и , одинаковый наклон кривых в точке соединения получается в том случае, если точки (которая совпадает с ) и лежат на одной прямой;

3. как видно из выражений (8) и (9), степень аппроксимирующего полинома равна n (т.е. числу звеньев в ломаной Безье), поэтому для увеличения порядка кривой Безье достаточно лишь задать дополнительные вершины в соответствующей ломаной Безье;

4. кривая Безье всегда целиком лежит внутри выпуклой оболочки ломаной Безье.

3.4 Определение полинома Безье

Итак, задано 6 точек, необходимо построить полином Безье степени 5:

,

найдем аппроксимирующие многочлены Бернштейна:

J ₅₀ =(1- u )⁵ ;

J₅₁ =5u(1-u)⁴ ;

J₅₂ =10u² (1-u)³ ;

J₅₃ =10u³ (1-u)²

J₅₄ =5u⁴ (1-u);

J ₅₅ = u ⁵ ;

Теперь есть все данные для построения кривой Безье по заданным точкам, причем она, не смотря на совпадение первой и последней точек, не будет замкнуто сопряжена, так как предпоследняя и вторая точка не лежат на одной прямой.

3.5 Программа для построения кривой Безье.

(defun Bezier_curve()

(command "erase" "all" "")

(setvar "pdmode" 2)

(setq p1 (list 49.0 28.0))

(setq p2 (list 105.3 -31.5))

(setq p3 (list 172.3 -78.6))

(setq p4 (list 211.1 -95.8))

(setq p5 (list 183.0 -66.1))