Контрольная работа: Сетевое планирование
Определите оптимальные стратегии и цену игры. Для 1) - в чистых стратегиях, для 2) - в смешанных.
1) 
2) 
Таблица 5
| B1 | B2 | B3 | B4 |  | |
| A1 | 2 | 3 | 4 | 2 | 2 |
| A2 | 3 | 5 | 2 | 4 | 2 |
| A3 | 2 | 5 | 4 | 6 | 2 |
 | 3 | 5 | 4 | 6 |  |
Решение.
Все расчеты удобно проводить в таблице, к которой, кроме матрицы Р, введены столбец и строка (табл.1). Анализируя строки матрицы (стратегии игрока А), заполняем столбец : а1 = 2; а2 = 2; а3 = 2 - минимальные числа в строках 1, 2,3. Аналогично 
= 3; 
= 5; 
= 4; 
= 6 - максимальные числа в столбцах 1, 2, 3 соответственно. Нижняя цена игры 
, 
(2; 2;
2) = 2 (наибольшее число в столбце 
) и верхняя цена игры 
, 
(3; 5; 4;
6) = 3 (наименьшее число в строке 
). Эти значения не равны, т.е. 
, и, так как они достигаются ни на одной и той же паре стратегий, то игра седловой точки не имеет.
И, так как игра седловой точки не имеет, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. В таком случае можно получить оптимальное решение случайным образом чередуя чистые стратегии.
Пусть игра задана платежной матрицей
Средний выигрыш игрока А, если он использует оптимальную смешанную стратегию
,
а игрок В чистую стратегию В1 (это соответствует первому столбцу платежной матрицы Р), равен цене игры v:
Тот же средний выигрыш получает игрок А, если 2-й игрок применяет стратегию В2 , т.е.
.
Учитывая, что 
получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии S*A и цены игры v:
Решая эту систему, получим оптимальную стратегию
и цену игры
Применяя теорему об активных стратегиях при отыскании 
- оптимальной стратегии игрока В, получаем, что при любой чистой стратегии игрока А (А1 или А2 ) средний проигрыш игрока В равен цене игры v, т.е.
Тогда оптимальная стратегия (
) определяется формулами:
Применим полученные результаты для отыскания оптимальных стратегий для игры, рассмотренной выше.