Заметим, что метод Гаусса является частным случаем, метода главных элементов, а схема метода Гаусса получается, если за главный элемент всегда выбирать левый верхний элемент соответствующей матрицы. Запрограммировать метод главных элементов непросто, поэтому чтобы уменьшить вычислительную погрешность, применяют метод Гаусса с выбором главного элемента. Необходимое условие применения метода главных элементов: определитель системы не равен нулю.

Метод квадратных корней

Метод квадратных корней разработан для решения линейных систем с симметричной матрицей коэффициентов. Пусть дана линейная система

Ax=b,

где или (симметрическая матрица).

Симметричную матрицу можно представить в виде произведения двух транспонированных между собой треугольных матриц

A=T'*T,

Перемножим матрицы T' и T. Из T' i-ю строку из T j-тый столбец, получим следующие уравнения:

Последовательно находим:

После подстановки в систему, последняя распадается на две системы с треугольными матрицами.

Решим систему T'*y=b. Запишем её в развёрнутом виде:

Отсюда последовательно находим

Решаем систему T*x=y, записав её в развёрнутом виде:

Решение имеет вид

Прямым ходом с помощью формул вычисляются t[i,j] и y[i], обратным ходом по формуле находятся x[i].Текущий контроль прямого хода осуществляется с помощью так называемых "контрольных сумм", которые представляют собой сумму элементов строк матрицы исходной системы, включая свободные члены. Если над контрольными суммами в каждой строке проделывать те же операции, что и над остальными элементами этой строки, то при отсутствии ошибок в вычислениях сумма преобразованных элементов равна преобразованной сумме. Обратный ход контролируется следующим образом: если в формулах для определения вместо столбца свободных членов взять соответствующие элементы из столбца контрольных сумм, то получим новые неизвестные, которые обозначим'.

При отсутствии ошибок '-=1.

Метод Халецкого

Запишем систему линейных уравнений в матричном виде:

,

где A=[a_ij ] – квадратная матрица порядка n и

, - векторы-столбцы.

Представим матрицу A в виде произведения нижней треугольной матрицы B=[b_ij ] и верхней треугольной матрицы C=[c_ij ] с единичной диагональю , где

и .