Контрольная работа: Высшая математика в экономике
Полученные графики говорят о плохом отражении исходных данных уравнением прямой. Возможно это связанно с наличием сезонности в товарообороте. Тогда прямая линия является уравнением тренда.
Задание 6
Исследовать на экстремум следующую функцию:
;
Решение:
Найдем первые частные производные и определим точки потенциальных экстремумов (там где производные равны нулю).
= 2x + y - 4; 
= 4y + x - 2;
; 
; 
; 
; 
Найдем вторые производные и их значения в точке (2; 0)
= 2 = А, 
= 1 = B
= 4 = C, Δ = AC - B2 = 2 * 4 - 1 = 7
Т.е. в точке (2; 0) имеется экстремум.
Т.к. А > 0, то точка (2; 0) минимум функции.
Задача 7
Пусть функция полезности задана как
где x и y - количество товаров А и В, приобретаемых потребителем, а значения функции полезности численно выражают меру удовлетворения покупателя. При данной стоимости единицы товаров А и В, общая сумма, выделяемая покупателем на их покупку, составляет 140 рублей. При каком количестве товаров А и В полезность для потребителя максимальна. А = 11, В = 17.
Решение:
Полезность максимальна при равенстве первых производных:
= 
; = 
; = ; 
= 
Ограничение стоимости задается неравенством 11x + 17y ≤ 140
Составим систему.
; 
; 
; 
Максимальная полезность будет достигнута при потреблении 4,46 ед. А и 5,35 ед.в.
Задание 8
Заданы функции спроса и предложения в зависимости от количества товара Q: 
и 
. Под функциями спроса и предложения будем понимать функциональную зависимость цены от количества товара на рынке. Определить излишки потребителя и излишки производителя при равновесном состоянии спроса и предложения.
и 
,
Решение: найдем равновесное состояние спроса и предложения:
D (Q) = S (Q); 
= 
; 
; - 
t2 - 10t + 200 = 0
t1 = - 34,685 и t2 = 12,685, t1 - не удовлетворяет условию
=12,685; Q = 160,9 ед.