Контрольная работа: Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания

Вступление:

При движении тел в однородном гравитационном поле, их траектории представляют собой параболы. И решая задачу относительно дальности полета, как функции начальной скорости и угла бросания тела, можно найти максимальную дальность перелета:

,

А, следовательно, и обратное решение для начальных, угла и скорости бросания тела, при которых обеспечивается перелет на заданное, максимальное расстояние.

, ,

Угол отсчитывается от горизонта.

При рассмотрении движения тел в сферически симметричном гравитационном поле, их траектории, представляют собой эллипсы, в одном из фокусов которых, находится источник гравитационного поля (в случае сферически симметричных тел - центр притягивающего центрального тела). Если бросание тел производить с поверхности центрального тела (Планеты), то дальность перелета (т.е. расстояние от точки бросания до точки падения) можно представить в виде длины дуги на поверхности сферы. Тогда, решая баллистическую задачу, можно найти такие начальную скорость и начальный угол бросания тела, при которых обеспечивается перелет тела, на заданное расстояние с наименьшими энергозатратами.

Решение:

Для решения данной задачи в первую очередь найдем функцию дальности перелета брошенного тела от начальной скорости и начального угла бросания. А так же всесторонне изучим данную зависимость.

-Радиус планеты

-Начальная скорость

-Начальный угол

-Параметр орбиты

-Гравитационный параметр планеты

-Дальность бросания тела

Как видно из рисунка, для нахождения , необходимо найти угол . Применяя результаты решения задачи Кеплера и используя не сложные вычисления, найдем зависимость

.

Т.к.

(Где - эксцентриситет орбиты)

То, выражая значения параметра и эксцентриситета орбиты через и , получим конечное выражение:

Для простоты обозначим:

, т.к..

В результате будем иметь:

Итак, мы получили зависимость дальности перелета брошенного тела от начальных скорости и угла бросания. Так как при незначительных скоростях бросания и дальность перелета брошенного тела также будет незначительна, а в качестве траектории брошенного тела будет выступать апоцентрическая окрестность эллипса, которая аппроксимируется (приближается) параболой, то можно ожидать, что при небольшой скорости (скоростях, много меньших первой космической скорости) бросания, максимальная дальность будет обеспечиваться при угле бросания, близкому к значению от горизонта, т.е. при .

Действительно, изобразив графически зависимость дальности бросания тела [Km] от угла вектора скорости к горизонту, (при фиксированной скорости) можно проследить данный факт.

B=0.1

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--