Контрольная работа: Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания
B=0.9
Из графиков видно, что при незначительных скоростях бросания, максимум зависимости приходится на угол равный 45 градусов от горизонта. А при дальнейшем увеличении скоростей, максимум дальности перелета смещается в сторону малых углов. И при приближении скорости бросания к круговой скорости (первой космической), выше приведенная зависимость переходит в прямую, имеющую максимальное значение при 0 градусов, равное 
, т.е. половину длины окружности планеты.
B=1.0
То есть мы увидели, что максимальная дальность перелета тела, при фиксированной скорости бросания, обеспечивается при определенном угле, который является функцией скорости броска. Чтобы найти данный угол, продифференцируем функцию дальности броска по углу бросания и после чего, приравняв ее к нулю, выразим значение угла.
А после подстановки данного выражения обратно в зависимость дальности, найдем максимальное расстояние броска, которое можно обеспечить при заданной начальной скорости 
. Т.е. т.к.
, определим максимально возможную дальность перелета, как функцию начальной скорости.
Решая обратную задачу, можно зная расстояние, на которое необходимо бросить тело, найти ту оптимальную скорость и угол броска, при которых обеспечится перелет тела на данное расстояние с наименьшими энергозатратами.
Для решения данной задачи, составим квадратное уравнение для выражения 
. Где обозначим: 
. С учетом данных замен, уравнение примет вид:
Чтобы оценить корни уравнения, построим графики для 
при различных значениях 
.
Так как 
, 
.
Из графиков квадратного уравнения можно заметить, что при малых дальностях броска, два корня данного уравнения практически совпадают в окрестности
, но при увеличении дальности броска до значения решение распадается на две части. Причем один корень всегда положительный, а другой отрицательный. А так как 
, отрицательный корень отбрасываем, так как он не имеет смысла.
И находя положительное решение данного уравнения, имеем:
Откуда легко получить значение скорости, при которой обеспечивается перелет на заданное расстояние (по оптимальной траектории).
Т.к. 
, то получим конечное выражение:
А, подставляя данное выражение в формулу для оптимального угла, найдем значение угла, при котором обеспечивается перелет.
Итак, задача решена!!!
Все графики построены на примере бросания тел с Лунной поверхности:
, 