Курсовая работа: Автоматизация решения систем линейных алгебраических уравнений

a21x1+a22x2+... +a2nxn=b2

. ………... ... ... ... ... ... ... ... ..., (2.1)

am1x1+am2x2+... +amnxn=bm

где числа aij (i=1,m; j=1,n) называется коэффициентами СЛАУ, а bi - свободными членами СЛАУ, причем (aij,bi) Є R.

Индекс i обозначает номер уравнения, а индекс j - номер неизвестного.

Система алгебраических уравнений называется линейной, если все уравнения системы содержат неизвестные только первой степени, и они между собой не перемножаются.

СЛАУ называется квадратной, если в ней число уравнений равно числу неизвестных, то есть m=n.

СЛАУ называется однородной, если все ее свободные члены равна нулю, то есть bi=0.

СЛАУ называется неоднородной, если среди ее свободных членов хотя бы один не равен нулю, то есть bi ≠0.

Решение СЛАУ (2.1) называется такая совокупность значений неизвестных x1=C1,...,xn=Cn, которая каждое уравнение СЛАУ обращает в верное числовое равенство (тождество).

СЛАУ называется совместным, если она имеет хотя бы одно решения, и не совместных, если она вообще не имеет решений.

Совместная СЛАУ называется определенной, если она имеет единственное решение, и не определенной, если она имеет более одного решения.

Неопределенная СЛАУ всегда имеет бесконечное множество решений. Тогда каждое ее решение называется частным решением СЛАУ, а множество всех частных решений называется общим решением СЛАУ.

СЛАУ называется эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Элементарными (тождественными) преобразованиями СЛАУ являются:

1) перестановка уравнений,

2) умножение любого уравнения на число ʎ ≠ 0,3) прибавление одного уравнения к другому.

При элементарных преобразованиях получают только эквивалентные СЛАУ.

2.2 Метод Гаусса. Исключение неизвестных

Метод Гаусса является универсальным, так как применим для исследования на совместность и решение не только квадратных, но и любых СЛАУ. Суть метода: СЛАУ кратко записывают в виде расширенной матрицы, которую с помощью элементарных преобразований над строками приводят к ступенчатому виду.

Этот процесс называют прямым ходом метода Гаусса. В каждой строке ступенчатой матрицы соответствует свое алгебраическое уравнение.

Ступенчатая СЛАУ совместна только тогда, когда она не содержит строк вида <0 0...0 | c>, где с≠0, так как им соответствуют противоречивые равенства вида 0=с. Строки вида <0 0...0 | 0> отбрасываются, так как им соответствует тождество 0≡0.

Решение совместной СЛАУ ступенчатого вида находят так: из последнего уравнения СЛАУ находится значение неизвестной xn и подставляется в вышестоящее уравнение, чтобы найти значение xn-1. Далее, используя значения этих двух неизвестных, поднимаются на ступеньку выше и находят значение xn-2 и так далее. Последним находят значение неизвестной x1 из 1-ого уравнения. Описанный процесс называется обратным ходом метода Гаусса.

2.3 Однородная СЛАУ

Однородная СЛАУ имеет вид

a11x1+a12x2+... +a1nxn=0

a21x1+a22x2+... +a2nxn=0

………... ... ... ... ... ………, (2.2)

am1x1+am2x2+... +amnxn=0

В однородной СДАУ нулевой столбец не меняется при элементарных преобразованиях над строками расширенной матрицы. Поэтому в ней ранг матрицы коэффициентов всегда равен рангу расширенной матрицы. (r (A) =r (Ab)).

Тогда, по теореме Кронекера - Капелли любая однородная СЛАУ всегда совместна и, согласно ее виду, всегда имеет нулевое (тривиальное) решение: x1=... =xn=0. Если при этом ранг матрицы коэффициентов равен числу неизвестных (r (A) =n), то для однородной СЛАУ нулевое решение является единственно возможным.