Курсовая работа: Автоматизация решения систем линейных алгебраических уравнений
Для того чтобы однородная СЛАУ имела нулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов был меньше числа неизвестных (r (A) <n).
Доказательство.
1) Необходимость. Предположим обратное, то есть, что r (A) =n, где n - число неизвестных. Тогда порядок базисного минора Mn будет равен n, так как r (Mn) =r (A) =n. Следовательно, по формулам Крамера однородная СЛАУ будет иметь единственное решение - нулевое: xi = Δi / Δ = 0, где Δi = 0,a Δ ≠ 0. Таким образом, при r (A) =n однородная СЛАУ ненулевых решений не имеет.
2) Достаточность. Пусть r (A) <n, тогда по следствию 2 теоремы Кронекера-Копелли однородная СЛАУ будет совместной и неопределенной, то есть она будет иметь бесконечное множество решений, в том числе и нулевых. Fin.
Теорема 2.
Для того чтобы квадратная однородная СЛАУ имела нулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее главный определитель был равен нулю (Δ=0). Доказательство.
1) Необходимость. По вышеприведенной теореме 1, если однородная СЛАУ имеет нулевые решения, то ранг ее матрицы коэффициентов должен быть меньше числа неизвестных (r (A) <n). Следовательно, главный определитель квадратной однородной СЛАУ должен быть равен нулю (Δ=0).
2) Достаточность. Если главный определитель квадратной однородной СЛАУ равен нулю (Δ=0), то ранг ее матрицы коэффициентов будет меньше числа неизвестных (r (A) <n). Поэтому такая СЛАУ имеет бесконечное множество ненулевых решений. Fin.
Теорема 2.
Для того чтобы квадратная однородная СЛАУ имела нулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее главный определитель был равен нулю (Δ=0). Доказательство.
1) Необходимость. По вышеприведенной теореме 1, если однородная СЛАУ имеет нулевые решения, то ранг ее матрицы коэффициентов должен быть меньше числа неизвестных (r (A) <n). Следовательно, главный определитель квадратной однородной СЛАУ должен быть равен нулю (Δ=0).
2) Достаточность. Если главный определитель квадратной однородной СЛАУ равен нулю (Δ=0), то ранг ее матрицы коэффициентов будет меньше числа неизвестных (r (A) <n). Поэтому такая СЛАУ имеет бесконечное множество ненулевых решений.
3. Алгоритм решения задачи
3.1 Водные данные
Входными данными в алгоритме решения систем линейных уравнений методом Гаусса являются:
А: массив [1…N, 1…N] вещ. {матрица}
В: массив [1…N] вещ. {массив свободных коэффициентов}
N: цел. {размер матрицы}
3.2 Промежуточные данные
Промежуточные данные в алгоритме решения систем линейных уравнений методом Гаусса являются:
l: цел. {Индекс элементов. Номер строки,
которую обрабатываем}
i: цел {номер "Базовой строки"}
К: вещ. {множитель для l - ой строки}
kol: цел {количество нулей в текущей строке}
S: вещ. {сумма элементов, вычисляемая
при обратном ходе метода Гаусса}
3.3 Входные данные
Выходные данные в алгоритме решения систем линейных уравнений методом Гаусса являются:
х: массив [1…N] вещ. {массив ответов}
Rez: цел. {количество решений матрицы:
0 - ни одного; 1 - одно; 2 - ∞}
3.4 Алгоритм
На рисунке 3.1 изображен ввод размера матрицы, который должен быть больше нуля