Курсовая работа: Численное решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Таким образом исходная система решена.

Пример 2. Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:

Составим расширенную матрицу системы.

_.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: x =1, y = 2, z = 3.

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи

2.1 Описание метода

Метод Гаусса - классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Состоит в постепенном понижении порядка системы и исключении неизвестных.

Пусть исходная система выглядит следующим образом

,

. (1)

Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками эту систему можно привести к трапециальному виду:

,.

Переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если , то рассматриваемая система несовместна.

Предположим, что .

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом , i=1,…,r. (где i - номер строки):

где i=1,…,r, k=i+1, …, n.

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и вычислить через них главные переменные, то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях полученное нами решение является решением системы (1).

Следствия:

Если в совместной системе все переменные главные, то такая система является определённой.

Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной.

Условие совместности:

Упомянутое выше условие может быть сформулировано в качестве необходимого и достаточного условия совместности:

Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны).

2.2 Алгоритм

Численное решение систем вида:

(3)