Курсовая работа: Численное решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Содержание

Введение

1. Постановка задачи

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи

2.1 Описание метода

2.2 Алгоритм

3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи

4. Программная реализация решения задачи

5. Пример выполнения программы

Заключение

Список использованных источникови литературы

Введение

Математические модели процессов часто или сразу строятся как линейные алгебраические системы или сводятся к ним. Необходимость решения СЛАУ возникает при вычислении определителя, обращения матриц, нахождении собственных чисел.

Методы численного решения системы Ax=b, где A - матрица n x n, det A ≠ 0, x - искомый вектор, b - заданный вектор, разделяются на два класса: прямые и итерационные. Прямые методы позволяют находить решение системы за конечное число арифметических операций. Если операции реализуются точно, то решение будет точным (прямые методы еще называют точными). На деле при вычислении на ЭВМ прямые методы не приводят к точному решению вследствие погрешностей округления.

Итерационные методы позволяют найти точное решение путем бесконечного повторения единообразных действий т.е. решение, которое реально можно получить, будет приближенным.

1. Постановка задачи

Требуется решить систему линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами вида

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1,a21x2 + a22x2 + … + a2nxn = b2,... ... ...

an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn

с помощью метода исключения Гаусса.

Пример 1. Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:

Обнулим коэффициенты при x во второй и третьей строчках. Для этого домножим их на и 1 соответственно и сложим с первой строкой:

Теперь обнулим коэффициент при y в третьей строке, домножив вторую строку на - 6 и сложив с третьей:

В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма.

На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке.

Имеем:

z = - 1 из третьего;

y = 3 из второго, подставив полученное z

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--