Курсовая работа: Численные методы решения систем линейных уравнений
Таким образом, мы получили нули под главной диагональю в первом столбце расширенной матрицы. Осталось получить нуль под главной диагональю во втором столбце матрицы, т. е. на месте элемента а32. Для этого третью строку матрицы преобразуем по формуле C3 -(a32 /a22 )*C2 = C3 -(1/-2)*C2 = C3 +1/2C2 :
Таким образом, проведя прямой ход метода Гаусса , мы получили расширенную матрицу системы, приведенную к верхне-треугольному виду:
Эта матрица эквивалентна системе:
Обратным ходом метода Гаусса найдем корни системы. Из последнего уравнения найдем корень х3 :
-5/2x3 = 3/2,
x3 = (3/2):(-5/2) = 3/2*(-2/5) = -3/5.
Корень x3 = -3/5 найден. Подставим его в верхнее (второе) уравнение системы (-2x2 -3x3 = 1):
-2x2 -3(-3/5) = 1,
-2x2 +9/5 = 1,
-2x2 = 1-9/5,
-2x2 = -4/5,
x2 = (-4/5):(-2) = (-4/5)*(-1/2) = 2/5.
Корень x2 = 2/5 найден. Подставим его и корень х3 в верхнее (первое) уравнение системы (x1 -x2 +x3 = 0):
x1 -2/5+(-3/5) = 0,
x1 -5/5 = 0,
x1 = 5/5 = 1.
Проверка:
т. е.
т. е.
и т. д.
Вывод.
Итак, метод Гаусса (или, иначе, метод последовательного исключения неизвестных) состоит в следующем: