и докажем, что функциятождественно равна единице. равна произведению конечного числа выражений вида

соответствующих разветвленным идеалам p.

теорема дзета функция дедекинд

Если это произведение непостоянно, оно имеет полюс или нуль в некоторой чисто мнимой точке , где . В силу функционального уравнения представляет собой отношение гамма-функций и, следовательно, имеет только вещественные нули и полюсы. Поэтому , также является полюсом или нулем функции g. Мы знаем, однако, что не является нулем или полюсом ни для L-рядов, ни для функций . Следовательно, g постоянна, а именно равна 1.

Глава 2. Вывод функционального уравнения дзета-функции Дедекинда

Пусть k=Q , K=Q ( ), где - первообразный корень из 1 степени m, . Тогда

(1)

где - дзета-функция Римана, - L-функция Дирихле, произведение справа распространяется на все неглавные рациональные характеры по модулю m.

Выведем функциональное уравнение

Воспользуемся функциональным уравнением для :

,

где сумма Гаусса. Воспользуемся (1), получим

,

,

используя свойство сумм Гаусса, получим

,

.

Пусть для любого вещественного характера , тогда

,

.

Известно, что для каждого комплексного характера существует сопряжённый, тогда получим

,

,

,

.

Используя функциональное уравнение для дзета-функции Римана:

получим