Курсовая работа: Доказательство теоремы о представлении дзета-функции Дедекинда
и докажем, что функциятождественно равна единице.
равна произведению конечного числа выражений вида
соответствующих разветвленным идеалам p.
теорема дзета функция дедекинд
Если это произведение непостоянно, оно имеет полюс или нуль в некоторой чисто мнимой точке , где
. В силу функционального уравнения
представляет собой отношение гамма-функций и, следовательно, имеет только вещественные нули и полюсы. Поэтому
, также является полюсом или нулем функции g. Мы знаем, однако, что
не является нулем или полюсом ни для L-рядов, ни для функций
. Следовательно, g постоянна, а именно равна 1.
Глава 2. Вывод функционального уравнения дзета-функции Дедекинда
Пусть k=Q , K=Q ( ), где
- первообразный корень из 1 степени m,
. Тогда
(1)
где - дзета-функция Римана,
- L-функция Дирихле, произведение справа распространяется на все неглавные рациональные характеры по модулю m.
Выведем функциональное уравнение
Воспользуемся функциональным уравнением для :
,
где сумма Гаусса. Воспользуемся (1), получим
,
,
используя свойство сумм Гаусса, получим
,
.
Пусть для любого вещественного характера , тогда
,
.
Известно, что для каждого комплексного характера существует сопряжённый, тогда получим
,
,
,
.
Используя функциональное уравнение для дзета-функции Римана:
получим