Курсовая работа: Элементы теории множеств 2

- перечисление элементов, то есть указание всех элементов множества, которые принято заключать в фигурные скобки. Если элементы: Ò, Â, Á, À, w - принадлежат множеству М, то записывается М={Ò, Â, Á, À, w};

- характеристическое свойство, когда среди элементов какого-либо множества выделяются с помощью высказывания, элементы, обладающие некоторым свойством (характеризующим это множество). Пусть P(x) – какое-то свойство числа x. Тогда запись {x|P(x)} означает множество всех таких чисел, которые обладают свойством P(x). Например, множество {x|x² – 3x + 2=0} есть совокупность корней уравнения x² – 3x + 2=0, то есть это множество состоит из двух элементов: 2 и 1; {x| 3 <x< 7} – множество всех чисел, удовлетворяющих неравенствам 3 <x< 7; {x|x>12 и x<3} = Æ;

Однако при задании множеств как одним, так и другим способом могут возникнуть проблемы. Например, пусть множество А состоит из русских слов «стол», «мир» и символа «$» в стандартной символике, то есть А={ стол, мир, $}. Множество А^{^} , состоящее из таких же символов, но на английском языке, будет другим А^{^} ={table, peace, $}. Так что нужно быть точным в перечислении (то есть задании множеств путём перечисления). И ещё один пример, связанный с каким-либо учебником или книгой. Существует много экземпляров какой-то книги, если имеется в виду конкретная книга (например, принадлежащая определённому человеку), получим один вариант, если имелись ввиду все экземпляры, вышедшие из типографии (например, тираж 100 тыс. книг) – другой вариант, если же иметь ввиду только сохранившиеся к настоящему моменту – третий вариант. Поэтому необходимо быть точным при задании множеств перечислением.

Но и способ задания множества с помощью характеристических свойств элементов таит некоторые опасности, поскольку "неправильно" заданные свойства могут привести к противоречию. Приведем один из наиболее типичных теоретико-множественных парадоксов – парадокс Рассела. Рассмотрим множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента:

Y = {X|XÏX}

Если множество Yсуществует, то мы должны иметь возможность ответить на следующий вопрос: YÎY? Пусть YÎY, тогда должно выполняться свойство, задающее множество Y, то есть YÏY. Пусть YÏY, то, поскольку выполняется свойство, задающее Y, приходим к тому, что YÎY, а это противоречит предположению. Получается неустранимое логическое противоречие. Вот три способа избежать этого парадокса.

1. Ограничить используемые характеристические предикаты видом

P(x) = xÎA & Q(x),

где A – известное, заведомо существующее множество (универсум). Обычно при этом используют обозначение {xÎА |Q(x)}. Для Yуниверсум не указан, а потому Yмножеством не является;

2. Теория типов. Объекты имеют тип 0, множества имеют тип 1, множества множеств — тип 2 и т. д. Yне имеет типа и множеством не является;

3. Характеристическое свойство P(x) задано в виде вычислимой функции (алгоритма). Способ вычисления значения свойства XÎXне задан, а потому Yмножеством не является.

Последний из перечисленных способов лежит в основе так называемого конструктивизма — направления в математике, в рамках которого рассматриваются только такие объекты, для которых известны процедуры (алгоритмы) их порождения. В конструктивной математике исключаются из рассмотрения некоторые понятия и методы классической математики, чреватые возможными парадоксами.

1.3 Количество элементов в множестве

Мощность множества – это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные.

Существуют большие, есть меньшие бесконечные множества, среди них счётное множество является самым маленьким.

В теории множеств счётное множество есть бесконечное множество, элементы которого возможно занумеровать натуральными числами. Более формально: множествоX является счётным, если существует биекция, где обозначает множество всех натуральных чисел. Другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел.

Счётное множество является «наименьшим» бесконечным множеством, т. е. в любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество.

Свойства:

1. Любое подмножество счётного множества конечно или счётно;

2. Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно;

3. Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно;

4. Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно;

5. Множество всех подмножеств счётного множества континуально и, в частности, не является счётным.

Несчётное множество – такое бесконечное множество, которое не является счётным. Таким образом, любое множество является либо конечным, либо счётным, либо несчётным. Множество рациональных чисел и множество алгебраических чисел счётны, однако множество вещественных чиселконтинуально и, следовательно, несчётно. Два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности.

Свойства

· Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. Т.е. для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества.

· Для бесконечных множеств мощность множества может совпадать с мощностью его собственного подмножества, например

Z (множество целых чисел) = {-3,-2,-1,0,1,2,3…};

N (множество натуральных чисел) = {1,2,3,4,5,6,7...};