Курсовая работа: Элементы теории множеств 2

· симметрическая разность:

· дополнение:

Операция дополнения подразумевает некоторый универсум (множество U, которое содержит A):

Для лучшего понимания смысла этих операций используются диаграммы Эйлера — Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.

Объединением двух множеств AÈB (рис. 2.2.1) – называется третье множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из множеств A и B

Рис. 2.2.1

Пересечением множеств А∩В (рис 2.2.2), является множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат одновременно всем данным множествам.

Рис 2.2.2

Разностью множеств A \ B = A – B (рис. 2.2.3) – называется такое множество, каждый элемент которого принадлежит множеству A, но не принадлежит множеству B.

Рис. 2.2.3

Симметрическая разность ADB (рис. 2.2.4)

Рис. 2.2.4

Дополнение к множеству A называется множество всех элементов, не входящих в множество A (рис 3.2.5)

Рис. 2.2.5

2.3 Свойства операций над множествами

Пусть задан универсум U . Тогда для всех A,B,CÌU выполняются следующие свойства (табл. 2.3.1):

Свойства операций над множествами

Для объединения ( È )	Для пересечения ( Ç )
Идемпотентность
A È A = A	A Ç A =A
Коммутативность
A È B = B È A	A Ç B = B Ç A
Ассоциативность
A È (BÈC) = (A È B)ÈC	A Ç (BÇC) = (A Ç B)ÇC
Дистрибутивность
A È (BÇC) = (A È B)Ç(A È C)	A Ç (BÈC) = (A Ç B)È(A Ç C)
Поглощение
(A Ç B)ÈA = A	(A È B)ÇA = A
Свойства нуля
A ÈÆ = A	A ÇÆ = Æ
Свойства единицы
A È U = U	A Ç U = U
Инволютивность
= A
Законы де Моргана
Свойства дополнения
Выражение для разности
Выражение для симметрической разности

В справедливости перечисленных свойств можно убедиться различными способами. Например, нарисовать диаграммы Эйлера для левой и правой частей равенства и убедиться, что они совпадают, или же провести формальное рассуждение для каждого равенства. Рассмотрим для примера первое равенство: A ÈA = А. Возьмем произвольный элемент х, принадлежащий левой части равенства, х Î A ÈA . По определению операции объединения È имеем х Î A Èх Î A .В любом случае х Î A . Взяв произвольный элемент из множества в левой части равенства, обнаружили, что он принадлежит множеству в правой части. Отсюда по определению включения множеств получаем, что A ÈA Ì А. Пусть теперь х Î A . Тогда, очевидно, верно х Î A Èх Î A . Отсюда по определению операции объединения имеем х Î A ÈA . Таким образом, А Ì A ÈA . Следовательно, по определению равенства множеств, A ÈA = А . Аналогичные рассуждения нетрудно провести и для остальных равенств.

Докажем свойство дистрибутивности для операции объединения на диаграммах Эйлера-Венна (рис 2.3.1):

A È (BÇC) = (A È B)Ç(A È C)