Курсовая работа: Фигуры постоянной ширины. Треугольник Рело

Рис.15 Движение вершины треугольника.

Рис.16 Движение центра треугольника.

Рис.17

Очень важной является траектория движения геометрического центра треугольника. Если обозначить длину стороны треугольника через R, то расстояние от вершины до геометрического центра будет равно R/. На фигурах 3 – 4 – 5, 7 – 8 - 9, 11 – 12 – 1 (Рис.16) центр движется по дугам с радиусом именно R/. На фигурах же 1 – 2 – 3, 5 – 6 – 7, 9 – 10 – 11 центр движется по трохоиде, причем расстояние от центра катящейся окружности (не путать с геометрическим центром треугольника, Рис. 15) до траектории искомой точки опять же равно R/.

4.4 Площадь треугольника Рело

Одна из задач моей работы: доказать, что из всех фигур постоянной ширины d треугольник Рело имеет наименьшую площадь.

Для начала найдем площадь треугольника Рело:

;

;

Следовательно, площадь треугольника Рело равна

Попробуем доказать, что треугольник Рело имеет наименьшую площадь. Обозначим через n количество сторон многоугольника.

Пусть дан какой-то правильный n–угольник (с нечетным числом сторон), следовательно, его шириной будет наибольшая из диагоналей (в данном случае их две).

(при n), .

Оценим и площадь треугольника Релло:

, >

Следовательно, больше площади треугольника Рело, а равносторонний, треугольник является многоугольником с наименьшим числом вершин (сторон). Значит, с увеличением числа вершин многоугольника площадь фигуры постоянной ширины, в которую вписан этот многоугольник, будет увеличиваться.

Попробуем доказать, что треугольник Рело имеет наименьшую площадь через n— количество сторон многоугольника.

Доказательство.

Итак, площадь треугольника Рело равна .

Пусть дан правильный многоугольник со стороной а. О — центр вписанной и описанной окружности. ОА=ОD; ОНАD;АОD= (n-число сторон), т.к. треугольник равнобедренный, ОН –биссектриса угла АОD.