Курсовая работа: Физические величины и их измерения

Пример 2. Установление единицы скорости. В качестве определяющего примем уравнение, показывающее, что размер скорости и равномерного движения тем больше, чем больше размер l пройденного пути и чем меньше размер затраченного на этот путь времени Т:

u = k_u (l/T),

где k_u — коэффициент пропорциональности.

Полагая l = [L], Т = [Т], получаем единицу скорости [u]=k_u k_u [L] [T]^-1 . Если из соображений удобства положим k_u = l, то единица скорости будет [u] = [L] [T]^-1 . При [L] = 1 ми [Т] = 1с согласно последней формуле [u] = 1 м/с.

Пример 3. Установление единицы ускорения. В качестве определяющего уравнения возьмем определение ускорения как производную скорости по времени: a = du/dT. Полагая du = [u], dT = [Т], получаем единицу ускорения: [а] = При [L] = 1 м и [Т] = 1с [а] = 1 м/с² .

Пример 4. Установление единицы силы. Выберем в качестве определяющего уравнение закона всемирного тяготения

f = где m₁ и m₂ — размеры масс тел;

r – размер расстояния между центрами этих масс;

k_f - коэффициент пропорциональности.

Полагая m₁ = m₂ [М], r = [L], получаем единицу силы

или при k_f =1 [f] = [M]² [L]^-2 . При [L] = 1 м и [М] = 1 кг согласно последней формуле [f] = 1 кг² /м² .

Выбирая в качестве определяющего уравнение второго закона Ньютона f = = k_f ma, получаем аналогично предыдущему единицу силы в виде [f] = k_f [M] * [а] = k_f [М] [L] [Т]^-2 , или в виде [f] = [М] [L] [Т]^-2 . При [М] = 1 кг, [L] = 1 м и [Т] = 1с согласно последней формуле [f] = 1 кг м/с² .

Обе полученные единицы силы равноправны, однако вторая широко распространена, а первая употребляется редко (преимущественно в астрономии).

Из рассмотренных примеров видно, что при выбранных основных ФВ — длине L, массе М и времени Т, производная единица [х] некоторой ФВ х находится через единицы [L], [М] и [Т] по формуле:

[x] = k_x [L]^pL [M]^pM [T]^pT ,

где k_x – произвольно выбираемый коэффициент пропорциональности;

p_L , р_М и р_Т – положительные или отрицательные числа.

Эти числа показывают, как изменяется производная единица ФВ с изменением основной. Например, с изменением основной единицы [L] в q раз производная единица [х] изменится в q^pL раз. Так как k_x при этом на изменение [х] не влияет, то характер изменения единицы [х] с изменением единиц [L], [М] и [Т] выражают обычно при помощи формул размерности, в которых k_x = 1. В рассматриваемом случае формула размерности имеет вид

dimx = L^pL M^pL T^pT ,

где правая часть называется размерностью единицы ФВ; левая часть – обозначение этой размерности (dimension);

p_L , р_М и р_Т – показатели размерности.

Из формулы размерности видно так же, как изменяется размер производной ФВ с изменением размера основной ФВ при выбранном определяющем уравнении. Правую часть этой формулы называют и размерностью ФВ.

Рассмотрим общий случай, когда имеется несколько основных ФВ А, В, С, D, ..., единицы которых [А], [В], [С], [D], ..... Тогда, очевидно, установление производной единицы ФВ х сведется к выбору какого-либо определяющего уравнения, связывающего х с другими (основными и производными) ФВ, к приведению этого уравнения к виду:

х = k_x A^pA B^pB C^pC D^pD …,

где р_A , р_B , р_C , p_D , ... — показатели размерности, и к замене основных ФВ их единицами:

[x] = k_x [A]^pA [B]^pB [C]^pC [D]^pD …

Формула размерности в этом случае будет иметь вид:

dim x = A^pA B^pB C^pC D^pD …