Курсовая работа: Формации конечных групп

Лемма 7 [4]. Пусть – -кратно -насыщенная формация . Тогда спутник является -значным.

Лемма 8 [9]. Пусть – такая полная решетка формаций, что . Пусть – -локальная формация с каноническим -локальным спутником , – -локальная формация с минимальным -локальным -значным спутником . Тогда в том и только в том случае – -критическая формация, когда , где – такая монолитическая группа с монолитом , что либо , и – -критическая формация для всех , либо и – -критическая формация.

Лемма 9 [4]. Пусть , где , и пусть – минимальный -значный спутник формации . Тогда справедливы следующие утверждения: 1) ; 2) для всех ; 3) , спутник является -значным и – некоторый фиксированный элемент из , то , где для всех , и, кроме того, ; 4) , где и для всех .

Лемма 10 [4]. Пусть такой внутренний -кратно -локальный спутник формации , что , . Тогда , где .

Лемма 11 [10]. Тогда и только тогда является минимальной -кратно -насыщенной ненильпотентной формацией, когда , где – такая монолитическая группа с цоколем , что либо , либо и выполняется одно из следующих условий:

1) – группа Шмидта с , где – абелева -группа, и – простое число;

2) – неабелева -группа, , где , причем, если , то и – простая неабелева группа.

Лемма 12 [6]. Пусть – монолитическая группа с неабелевым монолитом . Тогда если простое число делит порядок группы , то .

Лемма 13 [1, с. 26]. Пусть – произвольная непустая формация и пусть у каждой группы -корадикал не имеет фраттиниевых -главных факторов. Тогда если – монолитическая группа из , то .

Лемма 14 [2, с.168]. Пусть и – формации, причем – локальна и – группа минимального порядка из . Тогда монолитична, ее монолит совпадает с и если – -группа, то .

Лемма 15 [2, с.171]. Если в группе имеется лишь одна минимальная нормальная подгруппа и ( – некоторое простое число), то существует точный неприводимый -модуль, где – поле из элементов.

Лемма 16 [4]. Пусть – -насыщенная формация и – ее -локальный спутник. Если , то .

Лемма 17 [4]. Пусть и – минимальные -локальные -значные спутники формаций и соответственно. Тогда в том и только в том случае, когда .

Лемма 18 [10]. Пусть (), где – такая монолитическая группа с неабелевым монолитом , что и . Тогда имеет единственную максимальную -кратно -насыщенную подформацию , причем .

Основные результаты

Теорема 1. Пусть – -кратно -насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае -дефект формации равен 1, когда , где – -кратно -насыщенная нильпотентная подформация формации , – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация формации , при этом: 1) всякая -кратно -насыщенная нильпотентная подформация из входит в ; 2) всякая -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация из имеет вид

Доказательство. Необходимость. Пусть -дефект формации равен 1. Так как не является нильпотентной формацией, то по лемме 1 в входит некоторая минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация . По условию – максимальная -кратно -насыщенная подформация в . Значит, .

Достаточность. Пусть , где – -кратно -насыщенная нильпотентная подформация формации , – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация . Понятно, что . Пусть -дефекты -кратно -насыщенных формаций , и равны соответственно , и . Поскольку – -кратно -насыщенная нильпотентная подформация формации , то . Так как – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная формация, то ее -дефект равен 1. В силу леммы 2 имеет место неравенство . Если , то – нильпотентная формация, что противоречит условию . Таким образом, -дефект формации равен 1.

Докажем теперь справедливость утверждения 1) второй части теоремы. Так как – максимальная -кратно -насыщенная подформация в , то, в силу леммы 3, имеет место решеточный изоморфизм

Следовательно, – максимальная -кратно -насыщенная подформация в . Тогда, поскольку , то всякая -кратно -насыщенная нильпотентная подформация из входит в .

Докажем утверждение 2). Используя лемму 4, получаем, что в формации нет минимальных -кратно -насыщенных ненильпотентных подформаций, отличных от .

Пусть теперь – произвольная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация из . Тогда в силу уже доказанного и леммы 4 получаем, что . Следовательно, применяя лемму 3, получаем . Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть – -приводимая формация, . Тогда и только тогда -дефект формации равен 2, когда удовлетворяет одному из следующих условий: 1) , где , и – различные минимальные -кратно -насыщенные ненильпотентные формации; 2) , где , – -неприводимая формация -дефекта 2, , причем если , то .

Доказательство. Заметим, что при , справедливость утверждения теоремы вытекает из теоремы 1.1 [5], а также теоремы 1 работы [11]. Поэтому мы можем считать, что .

Необходимость. Пусть -дефект формации равен 2, – такая максимальная -кратно -насыщенная подформация формации , что -дефект формации равен 1. По теореме 1 получаем , где – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная формация, а . Если в формации имеется еще одна минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация , отличная от , то, в силу леммы 4, . Значит,