Математика / Курсовая работа: Формации конечных групп

Курсовая работа: Формации конечных групп

и выполнено условие 1).

Пусть теперь в формации нет отличных от минимальных -кратно -насыщенных ненильпотентных подформаций. Поскольку – -приводимая формация, то в найдется такая группа , что . Понятно, что . Ввиду леммы 5 -дефект формации меньше или равен 2. Поскольку и -дефект формации равен 1, то -дефект формации не равен 0. Допустим, что -дефект формации равен 1. Тогда по теореме 1 и предположению о единственности получаем, что , где . Значит, где . Но тогда в силу леммы 2 -дефект формации равен 1. Противоречие. Поэтому -дефект формации равен 2. Тогда , так как иначе , что противоречит максимальности формации в формации . Таким образом,

Предположим, что – -неприводимая формация. Заметим, что если и – -насыщенная формация, то является насыщенной формацией. Действительно, из -насыщенности формации получаем, что для любой группы из условия следует, что . Но . Значит, . Тогда получаем, что из условия следует, что . Таким образом, является насыщенной формацией. Ввиду леммы 6 всякая -кратно насыщенная формация, имеющая нильпотентный дефект 2, приводима. В этом случае – приводимая -кратно насыщенная формация. Противоречие. Поэтому . Тогда получаем, что формация удовлетворяет условию 2).

Пусть теперь – -приводимая формация. Воспользуемся индукцией по числу разрешимых -кратно -насыщенных подформаций однопорожденной формации .

Обозначим через максимальную -кратно -насыщенную подформацию формации , имеющую -дефект, равный 1. Так как – -приводимая формация, то в существует такая группа , что . Ввиду максимальности формации в формации справедливо . По теореме 1 и предположению единственности получаем, что , где – некоторая нильпотентная -кратно -насыщенная подформация формации .

Тогда . Заметим, что повторяя приведенные выше рассуждения для , получаем, что либо формация (где ) удовлетворяет условию 2), и необходимость доказана, либо формация является -приводимой формацией -дефекта 2. Понятно, что , так как иначе , что противоречит максимальности формации в .

Поскольку – собственная -кратно -насыщенная подформация формации , то число разрешимых подформаций формации меньше чем у . Ввиду замечания 3 [4] в однопорожденной формации имеется лишь конечное множество разрешимых -кратно -насыщенных подформаций. Поэтому, повторяя описанные выше действия, через конечное число шагов мы придем к ситуации, когда либо формация (где ) удовлетворяет условию 2) и необходимость доказана, либо , где – -приводимая формация -дефекта 2, – наименьшая неединичная разрешимая подформация формации , такая что .

Обозначим через максимальную -кратно -насыщенную подформацию формации , имеющую нильпотентный -дефект, равный 1. Так как – -приводимая формация, то в существует такая группа , что . Ввиду максимальности формации в формации справедливо . По теореме 1 и предположению единственности получаем, что , где – некоторая нильпотентная -кратно -насыщенная подформация формации . Тогда

Но по предположению индукции. Следовательно, формация не может быть -приводимой формацией. Значит, , где , – -неприводимая формация -дефекта 2. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть , где , и – различные минимальные -кратно -насыщенные ненильпотентные формации. Пусть , , и -дефекты формаций , , и соответственно. Тогда по лемме 2 -дефект формации не превосходит. С другой стороны по лемме 5 -дефект формации больше либо равен . Таким образом, -дефект формации равен 2.

Аналогично рассматривается случай, когда , где , – -неприводимая формация -дефекта 2. Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть – -кратно -насыщенная формация . Тогда и только тогда формации – -неприводимая формация -дефекта 2, когда , где – такая монолитическая группа с цоколем , что выполняется одно из следующих условий: