Курсовая работа: Генерация полиномов

2. Ассоциативность: a + (b + c) = (a + b) + c.

3. Существование нуля: существует такой элемент 0,

что а + 0 = а для любого элемента а.

4. Существование противоположного: для любого элемента, а существует такой элемент (-а), что а + (-а) = 0.

Умножение:

1. Коммутативность: a ∙ b = b ∙ a.

2. Ассоциативность: a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c.

3. Существование единицы: существует такой элемент 1, что а∙1 = а для всякого элемента а.

4. Существование обратного: для любого элемента а ≠ 0 существует такой элемент а^-1 , такой что а ∙ а^-1 = 1.

Сложение и умножение:

Дистрибутивность: a ∙ (b + c) = a ∙ b + а ∙ c. [2, С. 16]

Определение 4. Коммутативным кольцом называется множество, в котором выполняются аксиомы поля, кроме, может быть, требования существования обратного элемента а^-1 для любого а ≠ 0. [2, С. 23]

Определение 5. Пусть S – множество. Отображение S * S → S – закон композиции – общее название для операции, производящей из двух элементов a, bS третий элемент cS. [4, С. 279]

Определение 6. Моноид – множество G с ассоциативным законом композиции. [4, С. 386]

Определение 7. Если f(c) = 0, т.е. многочлен f(x) обращается в нуль при подстановке в него числа с вместо неизвестного, то с называется корнем многочлена f(x). [1, С. 144]

Определение 8. Ненулевой элемент кольца, произведение которого на некоторый ненулевой элемент равно нулю, называется делителем нуля. [4, С. 176]

Определение 9. Кольцо называется целостным (или областью целостности), если оно коммутативно и не содержит делителей нуля. [2, С. 26]

Определение 10. Многочлен называется приводимым в кольце многочленов, если у него существуют делители со степенью больше нуля, но меньше степени полинома, иначе неприводимым. [6, С. 54]

1.1.2 Определение полинома

В математике и ее разделах существует несколько определений такого понятия как полином. Здесь и далее будем называть полином также степенным многочленом или просто многочленом. Приведем некоторые из них.

Первое определение взято из [3, С. 60]

Пусть R – некоторое кольцо. Построим с помощью нового, не принадлежащего кольцу R, символа х выражение вида f(х) = ∑а_v x^v , в которых суммирование ведется по какому-то конечному множеству целочисленных значений индекса v≥0 и «коэффициенты» а_v принадлежат кольцу R. Такие выражения называются многочленами; символ х называется переменной, v – степенью полинома.

Второе определение взято из [7, С. 131-133]

Пусть S – некоторое множество и N – моноид натуральных чисел. Обозначим через N(S) множество функций S → N, которые равны 0 для почти всех элементов из S. Пусть хS и tN. Всякий элемент рN(S) имеет единственное представление в виде произведения , где v: S→N – отображение, для которого v(x) = 0 при почти всех х. Такое произведение назовем примитивным многочленом и будем обозначать или просто .

Пусть А- коммутативное кольцо. Тогда можно образовать множество моноидов A[N(S)] над А, которую будем называть кольцом многочленов от S над A. По определению всякий элемент из A[N(S)] имеет единственное представление в виде линейной комбинации , где (v) пробегает все отображения множества S в N, обращающиеся в ноль для почти всех (v). Элементы из А[N(S)] называются многочленами от S над А. Элементы называются коэффициентами многочлена. Если S состоит из одного символа Х, то всякий многочлен может быть записан в виде

,

где и n – некоторое целое число ≥ 0, называющееся степенью полинома.

Ниже приведенное определение взято из [1, С. 130]

Многочленом (или полиномом) n-й степени от неизвестного х называется сумма выражений с целыми степенями:

.